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Beitrag |
    
Alexander (Alexst)
| | Veröffentlicht am Montag, den 22. Januar, 2001 - 18:21: | 
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Hallo Leute,
ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe.
Eine Skizze mit allen Maßen findet ihr unter http://www.ast-server.net/mathe.jpg
Bei Fragen: mail@alex-st.de
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Wie hoch muß man die Lampe anbringen, damit die Mitte der Straße möglichst hell beleuchtet wird?
- siehe Skizze -
1. Bilden Sie eine Beziehung zwischen a, r und dem Winkel "a"! Stellen Sie nach r um und setzten Sie r in die Formel ein.
2. Bilden Sie die erste Ableitung von B=f(a).
3. Winkel a durch Ausklammern und Additionstheoreme bestimmen.
4. Mit Hilfe von Winkel "a" und a die Höhe h bestimmen.
Ich danke euch im Vorraus.
Mfg
AlexST
PS: Bitte helft mir! |
C
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 11:50: |
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Hallo Alexander,
Ist die Helligkeit nur vom Winkel abhaengig oder auch vom Abstand r? |
Alexander (Alexst)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 14:45: |
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Die Formel für die Helligkeit ist ja: B= K * cos "a" / r^2. Wobei K die Konstante der Lichtquelle ist.
Aber unser Mathelehrer sagte, dass wir K nicht brauchen. Aber ich denke das die Helligkeit auch vom Abstand r abhängig ist. |
IQzero
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Januar, 2001 - 16:49: |
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Hi Alexander!
Die Beleuchtungsstärke hängt einmal vom auftreffenden Winkel a (alpha) ab (je steiler je heller) und ist proportional zu cos(a).
Sie nimmt aber auch mit dem Quadrat des Abstandes zur Lichtquelle ab, ist also proportional zu 1/r².
Daher lautet die Zielfunktion insgesamt:
ZF: B = cos(a)/r²
Eine Nebenbedingung liefert uns die Cosinusdefinition im rechtwinkligen Dreieck:
NB1: cos(a) = h/r
Die andere Nebenbedingung liefert uns Pythagoras im selben Dreieck:
NB2: r² = h² + 10² => h² = r² - 100
Wir setzen nun NB1 in ZF ein:
B = h/r / r²
=> B = h/r³
Wenn wir in diese Zielfunktion die zweite Nebenbedingung einsetzen würden, bekämen wir Wurzel. Da die Beleuchtungsstärke aber genau dann maximal ist, wenn auch das Quadrat der Beleuchtungsstärke maximal ist, können wir auch B² ersatzweise als Zielfkt. verwenden und haben es dann einfacher:
B² = h² / r^6
NB2 in ZF:
B²(r) = (r² - 100) / r^6
=> B²(r) = r^-4 - 100 r^-6
Jetzt können wir ableiten und dann die Ableitung Null setzen:
B²'(r) = -4 r^-5 + 600 r^-7
0 = -4 r^-5 + 600 r^-7
alles mal r^7
=> 0 = -4 r² + 600
=> 4 r² = 600
=> r² = 150
=> r = 5Ö6 v r = -5Ö6 (die negative Lösung entfällt)
==========
r² in BN2:
h² = 150 - 100
=> h = 5Ö2
==========
und nun noch alpha:
cos(a) = h/r
=> cos(a) = 5Ö2 / 5Ö6
=> cos(a) = Ö(1/3)
=> a = acos(Ö(1/3))
=> a ~ 54,7°
===========
Jetzt ist die Aufgabe gelöst, aber Dein Lehrer hatte einen anderen (schwieregeren) Lösungsweg vorgeschlagen.
Dein Lehrer hat sich gedacht:
ZF: B = cos(a)/r²
NB: sin(a) = 10/r => sin²(a) = 100/r²
NB in ZF:
B(a) = 1/100 sin²(a) cos(a)
B'(a) = 1/100 ( 2sin(a)cos²(a) - sin³(a) )
0 = 1/100 ( 2sin(a)cos²(a) - sin³(a) )
=> 0 = 2sin(a)cos²(a) - sin³(a)
=> 0 = sin(a)*[2cos²(a) - sin²(a)]
=> 0 = sin(a) v 0 = 2cos²(a) - sin²(a)
=> a = 0° v 0 = 2cos²(a) - (1 - cos²(a)) {da sin²(a) + cos²(a) = 1 ist}
(entfällt) 0 = 3cos²(a) - 1
=> 1 = 3cos²(a)
=> cos²(a) = 1/3
=> cos(a) = Ö(1/3)
=> a = acos(Ö(1/3))
=> a ~ 54,7°
===========
also wie oben auch schon.
Ich hoffe Du kannst alles nachvollziehen, sonst frag einfach nochmal. |
Alexander (Alexst)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. Februar, 2001 - 20:16: |
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Hi IQzero,
ich danke Dir für deine Hilfe. Du hattest Recht, mein Mathelehrer wollte den schwierigeren Lösungsweg.
Mfg
AlexST |
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