| Autor |
Beitrag |
    
Deniz (Deniz)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 00:58: | 
|
HI.
Es wird vom Vektor a=(2,3,7) der Vektor gesucht, der um 45° um die z-Achse gedreht und um den Faktor 3 gestreckt wird.
Hab keine Ahnung. Soll das etwa mit Matrizen funktionieren?? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 13:48: |
|
Hi Deniz,
Wir schreiben den Vektor a als Ortsvektor OP mit
P ( 2 / 3 / 7 )
Zuerst drehen wir den Punkt P um die z-Achse,
Drehwinkel alpha = 45°.
Wir vollziehen diese Drehung mit der senkrechten
Projektion Q von P auf die (x,y) Ebene, indem wir Q
nach Q' um den Nullpunkt drehen (Drehwinkel alpha).
Koordinaten von Q ( 2 / 3 / 0 )
Gedrehter Punkt Q' (x' / y' / 0), wobei nach bekannten
Drehformeln gilt:
x ' = x cos 45° - y sin 45°
y' = x sin 45 ° + y cos 45°
Setzen wir x = 2 , y = 3 und sin 45° = cos 45° = ½ wurzel(2)
ein , so kommt:
x' = - ½ wurzel(2) , y' = 5/2 wurzel(2);
P' hat die gleichen x und y Koordinaten, die z -Koordinate ist
wie am Anfang z' = 7.
Nun wird P' von O aus mit dem Faktor 3 gestreckt:
Resultat: P '' (-3/2 wurzel(2) ; 15/2 wurzel(2) ; 21)
Daraus ergibt sich der Bildvektor OP'' unmittelbar.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 13:55: |
|
Hallo Deniz,
Eine Drehstreckung ist eine lineare Transformation und kann daher mit durch eine Matrix dargestellt werden.
Diese Transformationsmatrix ist leicht zu ermitteln: ihre Spalten sind die Koordinaten der transformierten Basiseinheitsvektoren e1, e2, e3.
e1 = (1;0;0)
e2 = (0;1;0)
e3 = (0;0;1)
Wir müssen uns also überlegen, was aus diesen bei der Drehstreckung wird.
Zeichne dir in der x-y-Ebene den Vektor e1 ein.
Gedreht wird er zu: (cos(45°); sin(45°);0) = (½W(2); ½W(2); 0)
jetzt noch gestreckt: e1' = (3W(2)/2; 3W(2)/2; 0)
Ebenso betrachten wir die Drehstreckung des Vektors e2 und erhalten:
e2' = (-3W(2)/2; 3W(2)/2;0)
Der Vektor e3 liegt ja in der z-Achse, wird also nur gestreckt:
e3' = (0; 0; 3)
===============
Nun können wir die Transformationsmatrix schon hinschreiben
(e1, e2, e3 als Spalten):
3W(2)/2 -3W(2)/2 0
T = 3W(2)/2 3W(2)/2 0
0 0 3
============
Mit dieser Matrix können wir nun jeden beliebigen Vektor drehstrecken indem wir die Matrix ganz einfach mit ihm multiplizieren.
Z.B. für den gegebenen Vektor a = (2; 3; 7)
3W(2)/2 -3/W(2)/2 0 2 -3W(2)/2
T = 3W(2)/2 3W(2)/2 0 * 3 = 15W(2)/2
0 0 3 7 21
Der gesuchte Vektor a' hat also die Koordinaten= ( -3W(2)/2; 15W(2)/2; 21) =
gerundet = (-2,12; 10,61; 21)
============================= |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 14:00: |
|
Hallo H.R.Moser!
Da bin ich wieder einmal etwas zu spät gekommen.
Mit Genugtuung stelle ich aber fest, dass mein Resultat mit deinem übereinstimmt.
Gruß, Fern |
|
