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ChrisR (Chrisr)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 14:37: | 
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Hi!
Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
Zeigen sie , dass die Funktion f(x)=2*x^2 im Intervall I(0;a) integrierbar ist und berechnen sie den Flächeninhalt A(0 bis 4) unter dem Graphen.
Ich muß doch hier zunächst mit der Ober-und Untersumme arbeiten , oder?
Vielen Dank für euer Bemühen
Chris |
chris_asteira
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 21:40: |
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hallo chrisR !
Eigentlich brauchst du keine ober- und untersummen. Diese funktion ist aus dem grund integrierbar, weil sie stetig auf allen reellen zahlen ist. aus der stetigkeit folgt integrierbarkeit. (schau in deinem mathebuch nach, was stetigkeit bedeutet! grob gesprochen bedeutet es, dass der graph der funktion eine durchgehende gerade ist und keine "löcher" hat - dies ist bei f(x)= 2*x^2 ja offensichtlich der fall - falls du mir nicht glaubst, dann zeichne den graphen!)
damit haben wir eine stetige funktion, die auf allen reellen zahlen integrierbar ist, also somit auch im intervall (0,a).
A(0,4)=2/3*x^3 an grenzen 0 und A =128/3
hoffe ich hab dich net zuviel verwirrt |
hobgob
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 12:30: |
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hi,
also mir geht die integralrechnung irgendwie quer. ich hab keinen plan was ich da machen soll. ich hab verstanden das es um flächenberechnung geht... aber das auch nur weil ich zuhause gelernt hab - wir hatten das schon 2 std. in der schule.
ich waere euch echt dankbar wenn ihr mir einen einstieg in diese form des rechnens geben könntet |
Quaternion (Quaternion)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 14:27: |
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Hallo Hobgob!
Integralrechnung ist nicht nur Flächenberechnung.
Man sollte es vielmehr als eine völlig neue Art zu denken erkennen. Wenn ich ein komplexes Problem nicht lösen kann, versuche ich es in Teilprobleme zu zerlegen. Oft ist etwas (z.B. in der Physik) im Großen nicht gleich zu verstehen. Dann schaue ich, ob man es nicht im winzig Kleinen verstehen kann. Oft ist dies einfacher. Die Integralrechnung ist ein Schritt, wie ich vom Verständnis des unendlich kleinen auf das große Ganze schließe. Deshalb kann man mit Integralen eben nicht nur "Flächen" berechnen, sondern auch Volumina, Trägheitsmomente, Energien, Geschwindigkeiten usw. . Dabei ist ein Integral nur eine abkürzende Schreibweise für eine Summe. Denn z.B. die Fläche unter einem Graphen ist nichts anderes als die Summe aller unendlich vielen Punkte darunter. Aber obwohl die Punkte unter dem Graphen unendlich sind - die Fläche ist es nicht. Die Integralrechnung ist also auch eine Art, um von Unendlichkeiten auf Endliches zu schließen. Doch warum ist die Fläche nicht unendlich, wenn sie doch die Summe der unendlich vielen Punkte darstellt ? Weil die Summe der unendlich vielen Punkte einen Grenzwert besitzt. Dieser Begriff vom Grenzwert ist vielleicht der wichtigste in der Analysis. Die Integralrechnung erlaubt dir diesen Grenzwert zu finden. Es ist also eine Rechenart, die unendliche Grenzprozesse berechnen will. Wenn du einmal den Begriff des Grenzwertes verstanden hast (z.B. Paradoxon von Zenon), dürftest du auch mit der Integralrechnung keine Schwierigkeiten haben. Die eigentliche Integration ist nur die Technik. Das dahinterliegende Verständnis ungleich wichtiger.
Ciau. |
SmokinSoldier (Chris3)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 15:30: |
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Hello Hobgob!
Also, erstmal keine Panik mit der Integralrechnung! Eigendlich is es ganz einfach.
Integralrechnung beschäftigt sich, wie du schon richtig bemerkt hast, mit Flächen unter Kurven bzw Volumen von Rotationskörpern (kommt später).
Stell dir ein Koordinatensystem vor, mit der Funktion:
f(x)=x2
Mit Hilfe der Integralrechnung kannst du nun die Fläche unter der Kurve f(x) bestimmen. In der Integralschreibweise sieht das dann so aus:
F(x)=ò x2 dx
Würdest du das jetzt ausrechen (wie, erkläre ich gleich) würdest du zu dem Ergebnis kommen, das die Fläche unendlich groß ist. Also muss du Grenzen bestimmen. SO zum Beispiel:
F(x)=ò1 2x2 dx
Im Klartext heisst das, dass su die Fläche von x2 von x=1 bis x=2 bestimmen willst.
Die Zahlen legen also die Grenzen rechts und links fest. Nach oben gibt die Funktion die Grenze an (in diesem Fall x2), nach unten die x-Achse. Später wirst du sehen, dass du auch die Fläche zwischen zwei Funktionen bestimmen kannst (schlieeslich ist die x-Achse einfach nur die Funktion g(x)=0).
Nun zur eigendlichen Rechnung:
Ich gehe mal davon aus, dass du weisst, was eine Ableitung ist. Nun, um Flächen unter Kurven (Integralrechnung) zu bestimmen, brauchst du Aufleitungen. Das ist genau das Gegenteil von Ableitungen, und hat die Form:
f(x)=xn
F(x)=1/[(n+1)]*xn+1 + C
Also nehmen wir unser Beispiel x2:
F(x)=(1/3)x3 + C
Im Klartext addierst du 1 (eins) zu der Potenz und dann dividierst du die neue Zahl durch den Term. Eben das genaue Gegenteil der Ableitung, wo du 1 subtrahierst und dann multiplizierst.
Du hast dich vielleicht gefragt, was das "+ C" zu bedeuten hat. Nun, C steht für eine Konstante. Wenn du zum Beispiel f(x)=x2+3 ableitest, bekommst du:
f'(x)=2x
Wenn du nun davon wieder die Aufleitung bildest, ist es:
F(x)=x2
Es fehlt also die "+3". Da das aber nur den Graphen nach oben und unten verschiebt, schreibt man einfach "+ C" hinter jede Aufleitung.
Als nächstes werden die Grenzen berücksichtigt. Du hast bisjetzt nur eine allgemeine Formel zur Bestimmung der Fläche unter x2 gefunden. In unserem Beispiel wollen wir aber wissen, was die Grenze von 1 bis 2 ist. Also müssen wir das irgendwie einsetzen. Als Formel benutzt man diese Rechnung:
A(x) = F(b)-F(a)
In unserem Beispiel also F(2)-F(1) oder anders:
A(x)=[(1/3)(2)3]-[(1/3)(1)3]
A(x)=(8/3)-(1/3)
A(x)=7/3
Und schon hast du die Fläche unter der Kurve f(x)=x2 von 1 bis 2.
Anm.: Da du eine Fläche von der anderen abziehst, subtrahiert sich das C von selbst weg
Wenn noch etwas unklar ist, schreib's hin!
Chris |
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