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BlackSun
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 15:57: | 
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Ich bitte um Hilfe zu folgendem Problem:
Funktion: f(x)=e2x²
Aufgabe: "Gib die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f, die durch den Koordinatenursprung verlaufen, an."
[ Bisheriges eigenes Wissen: Es ist mit 2 Tangenten zu rechnen, da der Graph von f einer nach oben geöffneten Parabel ähnelt.] |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 17:14: |
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Hi BlackSun,
Wir fackeln nicht lange und bestimmen als erstes
die Ableitung y':
y ' = 4 x * e ^ (2* x^2)
Wenn die Tangente durch O gehen soll, muss
y ' = y / x gelten ; diese Gleichung lautet vereinfacht
(die e-Potenz hebt sich weg): 4 x = 1 / x oder
4 x ^ 2 = 1, woraus x = (plus/minus ) ½ entspringt..
y-Wert: e ^ (½) = wurzel(e) für beide x-Werte.
Wir sind schon fertig !
Gruss
H.R.Moser ,megamath. |
BlackSun
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 22:41: |
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Da hab ich alles bis auf eine Sache verstanden:
Warum gilt y ' = y / x, wenn die Tangente durch den Ursprung geht?
TIA
BlackSun |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 18. Januar, 2001 - 06:58: |
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Hi Black Sun,
Hilfreich ist eine Skizze, in welcher die Tangente t
durch den Nullpunkt O geht und mit der positiven
x-Achse den sogenannten Richtungswinkel alpha bildet;
der Berührungspunkt von t sei P1 (x1/ y1).
Mit der Ableitung y ' (x1) an der Stelle x1 erhalten
wir geometrisch die Steigung m von t , d.h.
y ' (x1) = tan (alpha).
Andrerseits kann in diesem Sonderfall ( t geht durch O )
m auch als Quotient y1 / x1 gewonnen werden.
Somit gilt : y' (x1) = y1 / x1.
Lässt man die Indizes weg, so erhält man die von mir
verwendete Beziehung ,die nun hoffentlich nicht mehr
suspekt ist.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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