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Beitrag |
    
Steffi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 07:15: | 
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Hy
Bestimme den Grenzwert von
lim x->0
(exp(x)-1)* sin x / x2.
Bitte nachvollziehbar. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 17. Januar, 2001 - 09:20: |
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Hi Steffi,
Wir formen die gegebene Funktion
F(x) = [(e^x-1)*sin x] / x ^ 2 um zu
F(x) = f(x) * g(x) mit
f(x) = sin x / x und g(x) = (e ^ x - 1) / x
Es gilt der Satz:
Der Grenzwert eines Produktes ist gleich dem
Produkt der Grenzwerte der Faktoren.
Mit x gegen null strebt f(x) gegen eins;
dies ist ein grundlegender Grenzwert der Analysis
und allgemein bekannt.
Der Grenzwert von g(x) ist ebenfalls eins;
Dies erkennt man aus der Reihenentwicklung von e^x
oder mit Hilfe der Regel von de l'Hospital-Bernoulli.
Letzeres geht so
Ableitung des Zählers für sich: Resultat: e ^ x.
Ableitung des Nenners für sich; Resultat:.: 1
Quotient Q = e ^ x / 1 :Grenzwert von Q : Resultat: 1
Der gesuchte Grenzwert G von F(x) für x gegen null ist
wegen des erwähnten Satzes G = 1 * 1 = 1
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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