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Beitrag |
    
Sebastian Daus (Seb5)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 15:42: | 
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Wie berechnet man: Auf welcher Kurve liegen alle Scheitel dieser Parabeln (y = 2x/t²-1x²/t³)
und was sind die schiefen Asymptoten von f(x)=(4/x²)+x |
IQzero
| | Veröffentlicht am Freitag, den 12. Januar, 2001 - 17:36: |
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Hi Sebastian!
Die gesuchte Kurve wird manchmal auch Ortslinie der Extrema genannt. Um sie zu berechnen nimmst Du die notwendige Bedingund für die Extrema ( f'(x) = 0 ) und stellst die nach dem Parameter (hier: t) um. Das erhaltene Ergebnis setzt Du dann für t in die Funktion f(x) ein. Fertig ist die Ortslinie. Machen wir mal:
f(x) = 2x/t² - x²/t³
f'(x) = 2/t² - 2x/t³
0 = 2/t² - 2x/t³
=> 2x/t³ = 2/t²
=> 2x = 2t
=> t = x
t = x in f(x) einsetzen:
y = 2x/x² - x²/x³
y = 2/x - 1/x
y = 1/x
=====
1/x ist also die gesuchte Kurve auf der alle Scheitel liegen.
Um auf die schiefen Asymptoten von f(x) = 4/x² + x zu kommen, muss man sich überlegen was mit der Funktion geschieht, wenn x gegen unendlich oder gegen -unendlich strebt (denn dort nähert sich f(x) an seine Aymptote an).
lim 4/x² + x = x
x->oo
da 4/x² für x->oo gegen 0 strebt.
ebenso:
lim 4/x² + x = x
x->-oo
Also ist die Gerade y = x die schiefe Asymptote.
Das war kein besonders spektakulärer Fall. Manchmal sieht man bei gebrochen rationalen Funktionen den Grenzwert nicht so einfach. Dann ist es oft ratsam die Funktion zuerst durch eine Polynomdivision mit Rest zu vereinfachen, um dann bei der vereinfachten Funktion den Grenzwert gegen Unendlich genauso einfach wie hier zu sehen.
Wenn noch was unklar ist, schreib noch mal. |
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