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Maria
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Januar, 2001 - 11:13: | 
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Vollständige Induktion ist glaube ich nicht so meine Ding.
Wer kann mir helfen?
In der Ebene seien n Punkte A1,A2,...,An gegeben. Nun soll bewiesen werden, dass sich diese Punkte auf einem Kreis befinden mit dem Radius e/ (Wurzel aus) 3, wenn der Abstand zwischen zwei Punkten nicht größer ist, als e.
Danke |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 20:36: |
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Hallo, Hm, entweder habe ich es falsch verstanden, oder in Deiner Angabe stimmt was nicht. Die Punkte haben zu ihren gegenüberliegenden Punkten den Abstand 2/(Ö3)*e>e.
Ist das eine Hausaufgabe? |
Maria
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Januar, 2001 - 21:51: |
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Hi!
Nicht ganz, eher eine Zusatzaufgabe.
Aber was jetzt nicht stimmen soll weiß ich nicht genau, ich formuliere am besten mal etwas anders.
In einer Ebene seien n Punkte gegeben (s.o.). Der Abstand zwischen je zwei von ihnen sei nicht größer als die Längeneinheit e. Man beweise, dass alle diese Punkte in einem Kreis mit dem Radius (1: (Wurzel aus) 3)* e enthalten sind. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 13. Januar, 2001 - 18:21: |
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Hallo Maria,
Okay,da es um vollständige Induktion geht, muß man erstmal den Induktionsanfang machen.
n=2 => zwei Punkte mit maximalem Abstand e liegen in einem Kreis mit Radius 1/(gr{Ö}3} (Durchmesser ist 2/(gr{Ö}3}>e)
Induktionsschritt: n->n+1
liegen n Punkte, die in einem Kreis mit Radius 1/(gr{Ö}3}, dann auch n+1 Punkte, weil sie innerhalb der Figur liegen, die aus dem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge e und dessen drei Segmenten liegen. Dieses gleichseitige
Dreieck zusammen mit den Segmenten liegt sämtlich
in seinem Umkreis mit Radius 1/(gr{Ö}3}.
Das ist jetzt nicht ganz genau, vollstandige Induktion in der Geometrie ist nicht ganz einfach. Aber vielleicht war es wenigstens eine Anregung. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 14. Januar, 2001 - 20:58: |
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Hi Maria,
die Länge e/w(3) entspricht genau dem Umkreisradius eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge e.
Den Induktionsanfang macht man am besten mit n=3 Punkten. Die Behauptung gilt zwar auch für n<3, aber die Begründungen liegen da anders. Bei nur zwei Punkten reicht ja ein Kreis mit Radius e/2, und bei einem Punkt reicht jeder beliebige Radius.
Also für n=3 gilt die Behauptung, weil die drei Punkte innerhalb eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge e liegen.
Induktionsvoraussetzung:
n Punkte, von denen je zwei höchstens den Abstand e haben, liegen in einem Kreis mit Radius e/w(3).
Induktionsschritt: seien n+1 Punkte gegeben, von denen je zwei höchstens den Abstand e haben.
Sei P ein beliebiger Punkt.
Wenn man P außer acht läßt, dann gibt es nach Induktionsvoraussetzung für die übrigen n Punkte einen Kreis mit Radius e/w(3), in dem die n Punkte liegen.
Wenn P auch in diesem Kreis liegt, ist man schon fertig.
Wenn P aber nicht in dem Kreis liegt, dann hat P also vom Mittelpunkt M des Kreisen einen Abstand > e/w(3). Sei g die Verbindungsstrecke von P und M.
Sei M' der Punkt auf g, der von P genau den Abstand e/w(3) hat. Nun schlage einen Kreis mit Radius e/w(3) um M'. Entweder liegen in diesem Kreis alle n+1 Punkte, dann ist man fertig. Oder es müßte einen einen Punkt P' geben, der nicht in diesem Kreis um M' liegt.
Für diesen (vermeinlichen) zweiten Fall kann man aber einen Widerspruch zeigen.
Wir hätten dann also einen Punkt P, der von M einen Abstand > e/w(3) hat und einen Punkt P', der von M' einen Abstand >e/w(3) hat.
Nun zeichne einen Kreis mit Radius e/w(3) um P und einen ebensolchen um P'.
Die beiden Kreise schneiden sich nicht, denn P und P' liegen ja nach Konstruktion nicht beide in einem der Kreis mit Radius e/w(3) um M bzw. M'. Und - auch wichtig - M' war ein Punkt auf der direkten Verbindungsstrecke von M und P, der echt näher an P lag als M (sonst hätte man nicht M' konstruieren müssen).
Also ist der Abstand von P und P' > 2 * e/w(3) > e. Ein Widerspruch.
D.h. die Annahme, daß P nicht schon im Kreis um M liegt, ist falsch gewesen.
Was sagt uns der Beweis: Es kann sein, daß der Mittelpunkt für eines Kreises, der n Punkte einschließt, nicht zugleich der Mittelpunkt für einen Kreis ist, der n+1 Punkte einschließt.
Evtl. muß man den Mittelpunkt noch verschieben. Wie man den richtigen Mittelpunkt M' findet, sagt der Beweis.
Und das so konstruierte M' ist wirklich der gesuchte Kreismittelpunkt, denn unter Annahme des Gegenteils erhält man einen Widerspruch.
Der Beweis erscheint etwas ungenau, weil hier mit einem Abstand |PP'|>2e/w(3) argumentiert wird. Das ist zwar hinreichend für den Widerspruch, aber weniger wäre hier auch schon genug, nämlich |PP'|>e. Das liegt aber an einer Schwäche der Behauptung. Nehmen wir den Fall n=3 und Punkte die ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge e bilden.
Dann liegen also alle 3 Punkte auf der Peripherie eines Kreises mit Radius e/w(3).
Und nun kommt der Schwachpunkt der Behauptung: Dieser Kreis enthält auch Punkt, die zu mindestens einem der Punkte Abstand =2e/w(3) haben. Wenn nämlich P einer der 3 Punkte ist und Q ist der Punkt "genau gegenüber" auf der Peripherie, dann ist der Abstand 2*Radius =2e/w(3).
Man kann die Behauptung also nicht umkehren. Wenn n Punkte in einem Kreis mit Radius e/w(3) liegen, dann ist nicht notwendig der Abstand von je zwei Punkten <e.
Gruß
Matroid |
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