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Beitrag |
    
Katrin_Naumann@web.de
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 14:58: | 
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Hallo! Ich brauche bitte ganz dringend die Lösung zu der folgenden Aufgabe.
Die Orte A und B haben zu einer Eisenbahnlinie 9km bzw. 3km Abstand. Der Standort eines zu errichtenden Bahnhofs soll so gewählt werden, dass die Summe der Wege(A zum Bahnhof und B zum Bahnhof) minimal wird. Ermitteln sie x! |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 23:01: |
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Hallo Katrin,
Ich nehme an, dass die Eisenbahnlinie ist eine Gerade ist. Von einem Abstand zu einer Gerade zu sprechen, macht dann Sinn, wenn der Punkt A (bzw. B) auf einer Geraden liegt, die im 90° Winkel zur Bahnlinie ist.
Also lege ich das Koordinatensystem für die Rechnung günstig: Der Punkt A = (0 , 3) also bei 3 auf der y-Achse, B = (b, 9). Der Abstand b ist ja in der Aufgabe nicht gegeben. Die x-Achse stellt die Bahnlinie dar und an der Stelle x sei der Bahnhof am Punkt X = (x, 0).
Den Abstand AX und BX ergibt sich über den Satz des Pythagoras. Die Funktion f lautet dann wie folgt:
f(x) = Ö(32 + x2) + Ö(92 + (b-x)2)
f'(x) = (2x)/(2Ö(9 + x2)) + (x-b)/(Ö(81 + (b-x)2))
Im zweiten Bruch habe ich die 2 schon rausgekürzt. Nun beides auf einen Nenner bringen und Null setzen. Dann reicht es, die Nullstellen des Nenners zu finden.
0 = x/(Ö(9 + x2)) + (x-b)/(Ö(81 + (b-x)2))
-x/(Ö(9 + x2)) = (x-b)/(Ö(81 + (b-x)2)) | quadrieren
x2/(9 + x2) = (x-b)2/(81 + (b-x)2)
x2(81 + (b-x)2) = (x-b)2(9 + x2)
81x2 + (b-x)2 = 9(b-x)2 + (b-x)2x2 | -(b-x)2x2
ergibt die quadr. Gleichung: 72x2 + 18bx - 9b2 = 0
mit den Lösungen: x1 = b/4 und x2 = -b/2
Die zweite Lösung ist keine Lösung von f'. Sie ist durch das quadrieren hinzugekommen. Anschaulich ist es auch klar, dass das Minimum nicht bei -b/2 liegen kann.
Eventuell muss dann noch mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechsel geprüft werden, ob es sich um ein Minimum handelt (f''(x1) > 0).
Bis dann ...
Uwe |
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