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Beitrag |
    
martin
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 15:07: | 
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Gleich 3 Probleme - bzw. 1 Problem (ICH und Mathematik *g*)
1.In einer 40m langen Fabrikshalle befinden sich die Arbeitsstellen A bzw B an den gegenüberliegenden Schmalseiten der Halle 15 m bzw 15m von einer der beiden Längsseiten entfernt. An welcher Stelle dieser Längswand (Abstand von Schmalseite A) ist die Materialausgabestelle einzurichten, wenn die Summe der Wege zu den beiden Arbeitsstellen ein Minimum sein soll?
2. Zwei Autos bewegen sich auf zwei einander senkrecht kreuzenden, geradlinigen Straßen auf die Kreuzung zu. Das Auto A hat eine Geschwindigkeit von 72km/h, das Auto B von 96km/h. Bei Beginn der Zeitmessung sind beide Autos 20 km von der Kreuzung entfernt.
Nach welcher Zeit haben sie den kleinsten Abstand voneinander und wie groß ist dieser?
3.Von einem rechteckigen Karton (a=20cm, b=12,5cm) werden an den Ecken Quadrate abgeschnitten und die Randstücke zu einer offenen Schachtel aufgebogen. Wie groß müssen die Quadratseiten gewählt werden, wenn das Schachtelvolumen ein Maximum sein soll?
So... ich hoffe das kann irgendwer lösen... ich bin wirklich nicht ganz mathe-talentiert *seufz*. BITTE HELFT MIR !!! :-)
Danke schon im Vorhinein!
martin |
superssj
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 15:28: |
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3. Da die Stücke, die heraus geschnitten werden, quadrate sind, haben diese jeweils die seitenlänge x. Somit ist die Längsseite a=20-2x und die querseite b=12,5-2x und c, was später einmal der höhe entspricht ist x. Mit einer Zeichnung kann man sich das besser vorstellen.
--> das sind die Nebenfunktionen
Zielfunktion: V=abc, weil das maximale Volumen gesucht ist.
Nun einsetzen: V(x)=(20-2x)*(12,5-2x)*x
Da sich nur noch die Variable x in der Gleichung befindet, wurde V in Abhängigkeit von x gesetzt.
Zur Vereinfachung wird das ganze ausmultipliziert.
V(x)=250x-40x^2-25x^2+4x^3 ergibt
V(x)=4x^3-65x^2+250x
1.Ableitung: V'(x)=12x^2-130x+250
Nullstellen berechnen:
0=12x^2-130x+250
0=x^2-65/6x+125/6
mit hilfe von Lösungsformel, da quadrat. Gleichung x1=2,5 x2=25/3
2. Abl. V''(x)=24x-130
Nullstellen einsetzen
V''(2,5)=-70 --> kleiner als 0 -->Hochpunkt(beschreibt das Maximum)
V''(25/3)=70 --> größer als 0 -->Tiefpunkt(beschreibt ein Minimum, das hier nicht gesucht ist, fällt also weg.)
Der Hochpunkt liegt bei (2,5/281,25)
Somit ist x, in dessen Abhängigkeit V gestellt wurde 2,5, siehe Hochpunkt.
Mit HIlfe der Nebenbedingungen erhalten wir
a=15 b=7,5
Das maximale Volumen beträgt also 281,25cm^3 |
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