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dieunwissende
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 13:46: | 
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ich benötige dringend hilfe!!!
meine aufgabe:
gegeben sei die kurvenschar fa(x)=ax³+(1-a)x , (a ungleich 0)
a)berechnen sie die ableitungsfunktionen fa', fa'' und fa'''
das hab ich schon gemacht, ich bin mir aber nicht sicher ob es stimmt:
fa'= 3ax²+1-a
fa''= 6ax-1
fa'''=6a
ist das richtig????
b) zeigen sie: für 0 < a kleinergleich 1 gibt es nur eine Nullstelle, ansonsten existieren 3 Null-stellen
das bekomme ich einfach nicht hin!
ich habe bis dienstag zeit es zu lösen |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 23:41: |
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Hallo!
a) Ableitungen
Konstanten (d.h. nicht von x abhängig) werden beim Ableiten immer Null. Das betrifft die +1 und das -a. Daher fa''(x) = 6ax
Sonst war es richtig.
b) Nullstellen
Zuerst sollte man immer nachschauen, ob man ein x ausklammern kann. Das ist hier möglich und macht die Nullstellensuche viel einfacher.
fa(x) = ax3 + (1-a)x = (ax2 + 1 - a)x
Nun besteht die Funktion aus einem Produkt und bei Produkten gilt: Falls einer der Faktoren Null wird, so ist das Produkt ebenfalls Null. Also gibt es folgende Möglickeiten:
ax2 + 1 - a = 0 oder x = 0
Damit hast du schon eine Nullstelle bei 0. Nun löst man durch pq-Formel, quadratische Ergänzung oder hier auch direkt:
ax2 = -1 + a
x2 = (-1 + a)/a
x1/2 = +-Ö((-1 + a)/a)
Es ergeben sich noch zwei weitere Lösungen, falls (-1 + a)/a > 0 weil unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf (bisher). Mit a multipliziert (da a > 0) ergibt
-1 + a > 0 und damit a > 1
a = 1 geht zwar auch, ergibt aber als Lösung auch 0 also keine weitere Nullstelle.
Ich denke, du musst noch ein wenig mehr üben. Nimm es bitte nicht auf die leichte Schulter, denn in Mathe gilt "Übung macht die Meisterin" bestimmt.
Uwe |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 23:44: |
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Hallo unwissende,
a) ist richtig bis auf f", die -1 ist zuviel, denn -a nach x abgeleitet ergibt 0 und nicht -1.
b) versuche einfach, die Nullstellen auszurechnen, alles weitere ergibt sich im Verlauf:
fa(x) = 0 <=> ax³+(1-a)x = 0
<=> x*(ax²+1-a)=0
<=> x=0 V ax²+1-a=0
<=> x=0 V ax²=a-1
<=> x=0 V x²=1-1/a
Eine Lösung (x=0) gibt es immer, die letzte Gleichung, x²=1-1/a, hat nur dann reelle Lösungen, wenn 1-1/a³0 ist, umgeformt also, wenn
1 ³ 1/a
Für die weitere Umformung sind ab jetzt zwei Fälle zu unterscheiden: a<0 oder a>0
1) a<0
1³1/a |*a
a £1 (Das Relationszeichen kehrt sich um)
Da a<0 und a £1 gleichzeitig gelten muss, muss a<0 sein
2) a>0
1³1/a |*a
a³1
Gleichzeitige Gültigkeit von a>0 und a³1
erfordert, dass a³1 gilt.
Treten also weder
Fall 1) a<0 noch
Fall 2) a³1
ein, muss gelten:
0<a<1, dann hat fa(x) drei Nullstellen.
Und was passiert bei a=1, was bisher noch nicht vorkam?
Dann ist fa(x) = f1(x) = x³, dies hat nur eine Nullstelle. |
dieunwissende
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 09:27: |
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Ich danke euch für die schnelle Hilfe und ich glaube, ich habe es jetzt kapiert.
Zum Glück war das nur eine freiwillige Knobelaufgabe und kein Test, aber ich wollt es halt unbedingt wissen.
tausenddank!!!! |
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