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Beitrag |
    
Diana
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 14:44: | 
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Bitte helft mir weiter! ich weiss nicht was ich tun muss!
Wie lauten die Gleichungen jener Hyperbel (Hauptlage) die die Gerade durch A und B im Punkt A berührt?
A=(5/3)
B=(-4/-12)
Danke schon mal! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 13:55: |
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Hi Diana,
Das Ergebnis sei vorweggenommen.
In der Hyperbelgleichung
b^2 * x^2 - a^2 * y^2 = a^2 * b^2.............................(1)
werden die Halbachsen a und b gleich,
es gilt nämlich:
a = b = 4 und die Schlussgleichung lautet:
x^2 - y^2 = 16.
Eine solche Hyperbel heisst gleichseitig oder
Normalhyperbel, weil die Asymptoten aufeinander
senkrecht stehen.
Die Gleichungen der Asymptoten lauten nämlich
y = x und y = - x ; es sind dies die Winkelhalbierenden
der Quadranten I und III bezw. II und IV
Nun zur Herleitung
Die gegebene Gerade AB hat die Steigung
m = (-12-3) / (-4-5) = 5 /3
Die Hyperbeltangente mit A als Berührungspunkt muss
dieselbe Steigung haben, es muss also gelten:
y ' für x = 5 , y = 3 muss den Wert m = 5 / 3 haben.
Die Hyperbelgleichung (1) wird implizit differenziert;
wie das geht, sollte sich langsam herumgesprochen haben
(siehe nach bei ähnlichen Aufgaben im Board in den letzten
paar Tagen !);es entsteht beim Ableiten beider Seiten nach x:
2*b^2 * x - 2 * a^2 * y*y' = 0 also
y ' = b^2 *x / ( a^2 * y )
Wir setzen x =5 , y = 3 und m = 5 / 3 ein und erhalten die
Beziehung a^2 = b^2.
Die Hyperbel geht durch den Punkt A,
somit erfüllen die Koordinaten von A die Hyperbelgleichung,
d.h. es gilt mit Verwendung von a = b:
25 * b^2 - 9* b^2 = b^4 , daraus b^2 = 16 und a^2 = 16 ,
wie eingangs erwähnt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 22:17: |
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Hi
Kenner der Materie sind nicht überrascht, dass als
Lösung dieser Aufgabe gerade eine gleichseitige
Hyperbel erscheint !
Bei einer Hyperbel mit der Gleichung x^2 - y^2 = c^2
besteht nämlich eine einfache Beziehung zwischen der
Steigung m1 = x1/y1 einer Tangente mit dem
Berührungspunkt T(x1/y1) und der Steigung
m2 = y1 / x1 der Geraden OT
( O: Mittelpunkt der Hyperbel und Nullpunkt des Systems)
Diese Beziehung lautet m1 * m2 = 1.
Es gilt auch die Umkehrung !
Bei obiger Aufgabe ist die Bedingung offensichtlich erfüllt:
m1 = 5 / 3 , m2 = 3 / 5.
Löst man die Differentialgleichung y' = x / y durch Trennung
der Variablen, so erhält man die Gleichung x ^ 2 - y ^ 2 = c
Beim Kreis gilt wegen der Orthogonalität von
Tangente und Berührungsradius bekanntlich
m1 * m2 = - 1 .
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Diana
| | Veröffentlicht am Freitag, den 19. Januar, 2001 - 18:41: |
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Ich hab ein Problem ich muss dieses beispiel mit der Berührbedingung ausrechnen!
a²*k²-b²=d²
Kann du mir es vielleicht auf diese Weise auch erklären!Bis k=5/3 und d=-16/3 hab ich es! aber dann?????? |
go
| | Veröffentlicht am Samstag, den 20. Januar, 2001 - 18:54: |
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ist das eine neue Aufgabe? Dan bitte einen neuen Beitrag eröffnen. |
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