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thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 20:15: | 
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ich erkenne für ein bestimmtes n eine immer gleich bleibende Eigenschaft (bzw. Zusammenhang mit Variablen einer Reihe), die aus einer Formel hervorgeht, in der jenes n aber nicht vorkommt (nur Ordnungszahl). Die herausgelesene Eigenschaft ist jene:
n1 = a1 - a0 - 1
für n=1 und das berechnen von a1 und a0 stimmt die Aussage.
nun möchte ich zeigen, dass diese Eigenschaft für alle neN gilt....
hat jmd vielleicht einen Tip? |
Sylow
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 20:53: |
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Prinzipiell geht so etwas mit vollständiger Induktion am leichtesten. Schön wäre allerdings, wenn man noch den Zusammenhang zwischen a1 und a0 kennen würde, damit sich das Verfahren vereinfacht. |
thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 02:43: |
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der zusammenhang ist:
a1 = [2a0 + 1 + sqrt(8a0 + 1] / 2 |
Sylow
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 12:25: |
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Setzt man den von Dir genannten Zusammenhang in die Ausgangsgleichung ein, verallgemeinert auf a(index n) und vereinfacht, so erhält man die Beziehung
n^2+n = 2*a(index n-1)
oder auch: a(index n) = (n^2+3n+2)/2
Dies lässt sich mit vollständiger Induktion nun sicher leicht beweisen. |
thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 15:12: |
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naja, aber wie geht vollständige Induktion???
rechne es mir nicht unbedingt vor, sondern gib mir bitte einen Anfangspunkt, an dem ich ansetzen kann... hab das noch nicht so 100%ig geschnallt!
vielen dank
Thomas |
Sylow
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 16:24: |
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Du musst zunächst zeigen, dass die zu beweisende Beziehung(Formel) für n=1 gültig ist.
Dann nimmst Du an, die Formel sei für ein beliebiges n gültig (d.h. Du darfst die zu beweisende Beziehung als gültig voraussetzen und sie verwenden) und beweist dann die Gültigkeit für den Nachfolger von n, also für n+1. In der zu beweisenden Formel musst Du also jedes n durch n+1 ersetzen und die Gültigkeit dieser neuen Beziehung beweisen, indem Du die "alte" Beziehung verwendest.
Am Besten ist es, wenn Du Dir ein Buch besorgst in dem das eben beschriebene Verfahren an Hand eines konkreten Beispiels gezeigt wird. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 00:23: |
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Ein Einstieg in das Prinzip der vollst. Induktion ist hier http://sites.inka.de/picasso/Metzger/vollind.htm.
Gruß
Matroid |
Carsten Heidrich (Bender83)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 19:44: |
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Hi Leute!
Kann mir jemand von euch ein paar Anwendungsgebiete sowie Beispiele und Gegenbeispiele für vollständige Induktion nennen.
ich schreib ne Fachharbeit darüber und könnte Hilfe gut gebrauchen!
Hat da jemand Ahnung?? |
Karin Waldmann
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 21:03: |
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Hallo Carsten,
Der Beitrag von Matroid enthält einen Hinweis. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. Februar, 2001 - 21:34: |
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Hi Carsten,
wenn Du etwas spezielles brauchst, dann frag bitte genauer.
Gruß
Matroid |
Ysanne
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 17:24: |
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Vollständige Induktion ist wie Treppenlaufen lernen. Erst einmal muß man wissen, daß man überhaupt auf die erste Stufe klettern kann. Dann muß man den Weg finden, wie man von einer Stufe auf die nächste kommt. Und dann kommt man ja von der ersten auf die zweite, von der zweiten auf die dritte, etc.
Wenn die erste Stufe nicht klappt, dann haut natürlich das ganze nicht hin.
Ok, mal kleines Beispiel: Summenformel für Zahlen von 1 bis n.
Behauptung: 1+2+3+...+n = n*(n+1)/2
Beweis mit Vollständiger Induktion:
1. Induktionsanfang: n=1. 1 = 1*(1+1)/2 = 1 Paßt.
2. Induktionsvoraussetzung: Für alle n £ k gilt die Behauptung. Insbesondere also 1+2+...+k=k*(k+1)/2 ¬ Das nennen wir jetzt abgekürzt "(IV)".
3. Induktionsschritt. Man betrachtet, ob jetzt aus der Induktionsvoraussetzung schon folgt, daß auch für n = k+1 die Behauptung gelten muß. Also:
1+2+3+...+k+(k+1) = (1+2+3+4+...+k) + (k+1)
Jetzt setzen wir für den ersten Teil (IV) ein:
= k*(k+1)/2 + k+1 = (k2+k)/2 + (2k+2)/2 = (k2+3k+2)/2 =
(Faktorisieren)
=(k+1)(k+2)/2 = (k+1)*((k+1)+1)/2
Genau das sollte ja nach Behauptung rauskommen. Tut es. Die Behauptung ist also bewiesen, denn... für n=1 wissen wir was los ist. Daraus folgt es aus n=2. Daraus für n=3. Usw.
Weitere Referenzen (insbesondere für Facharbeit) hole man sich doch aus einem Mathebuch. ZB. Anschauliche Analysis 11te Klasse. |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Februar, 2001 - 22:09: |
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Hallo Ysanne,
Ist ja toll das mit der Treppe.
Werd daran denken,wenn ich nächstes Mal auf den Eiffelturm klettere:
Komme ich auf die erste Stufe und
von der neunten auf die zehnte, dann schaff' ich es bis ganz hinauf! |
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