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ANna
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 19:31: | 
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BITTE HELFT MIR BEI DIESEM BEISPIEL:
Vom Punkt P(-6/6)sind an die Parabel y²=48x die Tangenten zu legen. Wie lauten ihre Gleichungen welchen Winkel schliessen sie miteinander ein?Und wie gross ist der flächeninhalt des von ihnen und der Berührsehne gebildeten Dreieck?
Danke SChon Mal! |
IQzero
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 22:18: |
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Hi Anna!
Eine Parabel der Form y² = 2px hat im Berührpunkt (xb | yb) die Tangente:
yb y = p (x + xb)
Deine Parabel heisst y² = 48x , also ist p = 24. Da der Punkt p(-6 | 6) auf der Tangente liegen soll gilt:
6yb = 24 (-6 + xb)
Da der Berührpunkt auch auf der Parabel liegen muss, gilt:
yb² = 48 xb
=> xb = yb² / 48
Eingesetzt in die Tangeltengleichung liefert das:
6yb = 24 (-6 +yb² / 48)
=> 0 = yb² -12yb -288
=> yb1 = -12 ; yb2 = 24
Um die dazugehörigen x-Werte zu bestimmen setzt man in xb = yb² / 48 ein.
=> xb1 = 3 ; xb2 = 12
Also lauten die Berührpunkte:
B1 (3 | -12) ; B2 (12 | 24)
Wenn man nun B1 und B2 in die Tangentenformel einsetzt ergibt sich:
t1: -12y = 24 (x + 3)
=> t1: y = -2x -6
t2: 24y =24 (x + 12)
=> t2: y = x + 12
Damit hat man die Tangentengleichungen ausgerechnet.
Eine Gerade mir der Steigung m schneidet die x-Achse im Winkel atan(m). Wenn Du den Schnittwinkel zweier Geraden errechnen willst, dann kannst Du für beide Geraden den Winkel mit der x-Achse ausrechnen und musst die Winkel voneinander abziehen.
In diesem Fall sind die Steigungen 1 und -2, also gilt für den Schnittwinkel Alpha:
Alpha = atan(1) - atan(-2)
Alpha ~ 108,4°
Man kann die Fläche eines Dreiecks mit der Formel:
A = 1/2 b c sin(Alpha)
ausrechen, wobei der Winkel Alpha von den Seiten b und c eingeschlossen wird.
Da wir den Winkel schon kennen berechen wir die fehlenden Seiten mit Pythagoras:
c = |P B1|
c² = (3 - (-6))² + (-12 -6)²
c = Ö405
b = |P B2|
b² = (12 - (-6))² + (24 - 6)²
b = Ö648
Jetzt kann man zum Schluss die Fläche berechnen:
A = 1/2 Ö648 Ö405 sin(108,4...°)
A = 243 FE
Der Wert ist übrigens keine Näherung, sondern kommt genau raus.
Ich hoffe Du kannst alles nachvollziehen, sonst frag bitte einfach nach! |
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