| Autor |
Beitrag |
    
Ronja
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 11:29: | 
|
Hilfeee!!!
Ich soll für ein Referatdie Nullstellen der Funktion f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 mit Wurzeln (keine Dezimalzahlen) ganz genau bestimmen und versuchen ob das
auch für die Funktion g(x)=x^5+4x^4-2 irgendwie
gehen kann. Habe aber überhaupt keine Ahnung,
wie das gehen soll. Helft mir alle, ihr lieben
Mathe-Freaks bitte bitte schnell. |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 15:18: |
|
Hallo Ronja,
zur ersten:
f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
durch scharfes hinsehen erkennt man, das x=-1 eine Nullstelle der Funktion ist. durch polynomdivision kommt man auf die um ein Grad reduzierte Funktion
x^5+x^3+1=0
die nächste Nullstelle bekommst du nur durch numerische näherungsverfahren wie zum Beispiel Newton-Verfahren oder Regula Falsi. die nun wiederum durch polynomdivision entstanden Gleichung 4. Grades ließe sich dann per Lösungsformel und Lösungsverfahren lösen.
zur Zweiten:
x^5+4x^4-2=0
Auch hier bekommst du die erste Reelle lösung nur über die beispielsweise oben genannten numerischen Näherungsverfahren.danach ommst du entweder über polynomdivision oder hornschen Schema zur um ein Grad verminderten Gleichung 4.Grades, die du 4)per Ferrari-Verfahren b)Bombelli-Verfahrem c)das "Dirk-Verfahren" anwenden um die Gleichung explizit zu lösen.
Doch ein paar Fragen:
a)Brauchst du alle lösungen der Gleichung oder nur die Reellen Lösungen?
b)Hast du Ahnung von Komplexen Zahlen?
c)kannst du ganzrationale Funktionen ableiten?
Gruß N. |
Ronja
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 16:24: |
|
Hi Niels!
Danke für die Lösung aber
-1^6 + -1^5 + -1^4 + -1^3 + -1^2 + -1 + 1 = 1.
Wieso ist dann -1 eine Nullstelle?
Zu deinen Fragn kann ich nur soviel sagen
a) Vorraussetzung ist, das ich für die Funktion f(x) alle Lösungen ganz genau mit Wurzelzeichnen bestimme und keine Näherungslösungen. Angeblich soll das für f(x) möglich sein und für g(x) soll
ich sagen, ob das ebenfalls geht.
b)Wir haben komplexe Zahlen schon drangehabt.
c)ableiten kann ich.
Lieben Dank für deine Hilfe |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 18:08: |
|
Hallo Ronja
Ich hoffe, mein erster beitrag kommt bald an. Da Du komplexe Zahlen kennst, mache ich also weiter:
die letzte Gleicgung besitzt die Lösungen ek*2pi/7 für k=0..6, wobei aber für k=0 die Lösung 1 ist, die hatten wir aber dazugemogelt. In der Gaußschen Zahlenebene ist das gerade die Siebteleinteilung des Einheitkreises.
Bei der zweiten bin ich momentan (noch) überfragt. Es gibt nachgewiesenermassen ab Grad 5 Polynome, die nicht formelmäßig lösbar sind. Es ist natürlich die Frage, ob mit "so ählich" mein Verfahren gemeint ist, geht es jedenfalls nicht ganz so einfach, denn um den Term 4x4 wegzukriegen, müßte man mit (x-4) multiplizieren, dann taucht aber ein linearer Term auf, also hat uns das auch nicht weitergeholfen.
viele Grüße
SpockGeiger |
Niels
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 18:25: |
|
Hallo Ronja,
zur ersten nochmal:
du hast volkommen recht. Ich habe die Aufgabe nur falsch abgeschrieben.Diese Gleichung hat 6 komplexe Lösungen, wie du sehen wirst, wenn du die Funktion plottest. Ich habe aber bisher keine Ahnung wie du auf eine der 6 kommst.Soviel ich weis siend numerische Lösungsverfahren nur für reelle Nullstellen anwendbar.Das ist noch ein Punkt über den ich mit Dirk grübeln werde.
zur zweiten:
grundsetzlich sind ganzrationale Gleichungen für Grade n>4 dicht durch Radikale auflösbar.(->Galois-Theorie)
Da kann dein Lehrer machen was er will, du kannst die reelle Nullstelle, die Funktionen 5. immer besitzen müssen nur über die Numerik bestimmen.wenn erstmal eine Funktion 4. Grades vorligt kannst du über die genannten 3 Verfahren die Lösungen explezit als Wurzeln bekommen.
Gruß niels |
Ronja
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 18:36: |
|
Hi lieber Spockgeiger!
Ich brauche auf jeden Fall die Wurzelausdrücke für die Nullstellen von f(x) und nicht die Polarkooordinaten e^k*2pi/7.
Also so was wie sqrt()+(sqrt( ) etc.
Es wäre toll, wenn du mir die
berechnen würdest. Mein Prof hat gesagt,
daß für f(x) die Nullstellen als solche Wurzeln
zu schreiben sind und für g(x) soll ich prüfen,
ob das möglich ist.
Vielen Dank schon im vorraus!!!! |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 21:53: |
|
------ per email reply -----------
Hallo Niels, Hallo Ronja
Niels, Deine Nullstellen stimmen leider nicht. Mit -1 warst Du zu
vorschnell. Wundert mich echt, wie Du dann die Polynomdivision hingekriegt
hast.
Ich würde mit einem Trick an die Aufgabe rangehen. Wir multiplizieren das
Polnom mit (x-1) und erhalten das viel einfachere Polynom x7-1, müssen
uns nur merken, dass wir die Nullstelle 1 "dazugemogelt haben. Also müssen
wir x7=1 lösen, das ja bekanntlich im rellen nur die Lösung x=1 hat,
unser Ausgangspolynom hatte diese Nullstelle nicht, also kann es keine relle
Nullstelle haben. Solltest Du Dich mit komplexen Zahlen auskennen, dann frag
nochmal nach, das kann ich dann noch weiter ausführen.
viele Grüße
SpockGeiger |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 22:16: |
|
Hallo Ronja
Für den Cosinus jedes rationalen Vielfachen von p gibt es einen
algebraischen Ausdruck. Wir müssten für unser Problem cos(p/7)
herausfinden. Ich kenne zwar alle Cosini der Brüche p/k für k=2..6,
aber leider nicht für 7, ich hoffe, jemand anders kann da aushelfen.
viele Grüße
SpockGeiger |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 10:15: |
|
Hallo spockgeiger,
wir wollem also 7.te Wurzel aus 1 im komplexen mit 7 lösungen bekommen.
Die Formel lautet
7.Wurzel aus 1*[cos(0°+k*360°)+i*sin(0°+k*360°)
k=0;1;2;3;4;5;6
W0=1
w1=cos(360/7)°+i*sin(360/7)°
w2=cos(2*360/7)°+i*sin(2*360/7)°
w3=cos(3*360/7)°+i*sin(3*360/7)°
w4=cos(4*360/7)°+i*sin(4*360/7)°
w5=cos(5*360/7)°+i*sin(5*360/7)°
w6=cos86*360/7)°+i*sin(6*360/7)°
w7=w0....
so sehe ich das...
Gruß N. |
Lars09
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 12:15: |
|
Tagchen!
Total cool was Niels da macht. Jezt muß er
aber wohl noch cos(360/7)° und sin(360/7)°
ausrechnen. Das is doch wohl das Problem
vone Ronja. Bei uns im Leistungskurs haben
wir mal cos(360/6)°+i*sin(360/6)° mit
1/2 + i*sqrt(3)/2 mit dem gleichseitigen
Dreieck bewiesen. Dat kann doch wohl dann
auch nich so schwer sein cos(360/7)°+i*sin(360/7)° zu Wurzeln umzuformen. Megamath kann dat bestimmt.
Bis die Tage und Gruß
aus Dortmund: Lars09 |
Niels
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 12:36: |
|
Hallo Lars,
360/6=60°
das ist ja auch ein schön runder Wert!
360/7=51,42857143...
Das heißt ein zimlich krummes Ergebnis...
spontan viele mir nur als ansatz das regelmäßige 7-Eck ein...
Gruß N. |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 12:55: |
|
Cooler Trick Mr. SpockGeiger! Wo lernt man denn so etwas?
Beste Grüße
Uwe |
Ronja
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 15:58: |
|
Hi ihr Mathe-Freaks!
Das es sich um die Zahlen ek*2pi/7 handelt ist mir schon klar gewesen. Mein Problem liegt wirklich nur darin wenigstens eine Nullstelle von x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x^+1 mit Wurzelnsymbolen zu finden.
Bitte, bitte helft mir!!!
Vielleicht hat auch einer von euch doch noch eine Idee, wie ich die Nullstellen von g(x)=x^5+4x^4-2 finden
kann (nicht auf nummerische Weise) oder warum es keine Möglichkeit gibt, die Nullstellen von g mit wurzelzeichen darzustellen.
ich hoffe auf euch
Ronja |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 22:22: |
|
Hallo Ronja,
ich weiss nicht, ob auch negative Zahlen unter der Wurzel erlaubt sind, aber Mathematica hat folgende Lösungen für f(x) ausgegeben:
-(-1)^(1/7), (-1)^(2/7), -(-1)^(3/7), (-1)^(4/7), -(-1)^(5/7), (-1)^(6/7)
Viel Erfolg noch
Uwe |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 00:24: |
|
Hallo Uwe
Schön, dass jemand meine Arbeit würdigt. Ich habe in dem Polynom nur
die
geometrische Summe erkannt mehr nicht. Es ist, falls q nicht 1 ist:
1+q+q²+...+qn=(qn+1-1)/(q-1) und je Koeffizienten
verschwinden,
desto leichter ist ein Polynom lösbar.
viele Grüße
SpockGeiger |
Niels
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Januar, 2001 - 18:57: |
|
Hi kollegen,
hier ist ein wunderbarer Link:
Galois-Theorie
wie ich schon sagte,spielt die galois-Theorie eine große Rolle.
Und dank SpockGeigers haben wir das mit den 7. Kreisteilungspolynom auch hinbekommen!!!
Hut ab spocki...
Gruß N. |
Berkin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 17:04: |
|
Hi Niels..Ich seh dass du ein Mathe-profi bist..
Mein Facharbeitsthema ist Verfahren zur Nullstellenbestimmung. (Graphische Suche,für Potenzgleichungen,Regula Falsi,Newton Verfahren)
Ich muss 3 Beispiele für jeden Schwerpunkt lösen aber dafür muss ich zuerst das Thema gut kapieren.
Kannst du mir BITTE helfen? Ich weiss gar nicht wie ich anfangen soll usw..
Schönen Tag noch, Tschüss |
|
