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Meike Bauer (Meike)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 16:15: | 
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Gegeben sei ein Kreiskegel mit einem gleichseitigen Dreieck als Achsenschnitt. In ihn soll ein Zylinder und eine Kugel einbeschrieben werden, sodass diese Summe ihrer Volumina maximal wird. Verwende zur Berechnung keine Winkelfunktion und gib die Zielfunktion, d.h. das Gesamtvolumen von Kugel und Zylinder als Funktion vom Radius des Zylinders an. |
Meike Bauer (Meike)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 16:27: |
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Gegeben sei ein Turm mit quadratischer (4m breit)Grundfläche und der Höhe hTurm=10m. Wie hoch muß die Tür in diesem Turm mindestens sein damit eine Leiter der Länge l=8m in den Turm gebracht werden kann (Hinweis: Betrachte diese AUFGABE ALS EINE Extremwertaufgabe). Bitte detailliert beschreiben. Danke. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 06:45: |
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Hi Meike,
Eine Rückfrage:
Soll Deine erste Aufgabe für ein gleichseitiges Dreieck
oder für ein beliebiges gleichschenkliges Dreieck
gelöst werden ?
Für die Lösung Deiner zweiten Aufgabe findest Du
Anregungen im Archiv unter dem Stichwort
"Fahnenstange" !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Meike Bauer (Meike)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 10:28: |
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Hallo h.R. Moser,
die Aufgabe ist auf ein gleichseitiges Dreieck bezogen. Helfen Sie mir bitte bei der Lösung, es ist sehr dringend. Danke meike |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 14:01: |
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Hi Meike,
Es folgt die detaillierte Lösung Deiner ersten Aufgabe
Auf die Lösung der zweiten Aufgabe muss ich aus
Zeitgründen leider verzichten.
Wir stellen eine Skizze des Achsenschnittes her.
Die Ecken des gleichseitigen Dreiecks seien
SAB, wobei S mit der Kegelspitze zu identifizieren ist.
Die Seitenlänge sei 2R : SA = SB = AB = 2R ;
R ist der gegebene Radius des Rotationskegels.
Parallel zur Grundlinie AB (Mittelpunkt N)
liegt die Seite FG des Rechtecks DEFG,
wobei die Seite DE auf AB liegt
Dieses Rechteck stellt den Achsenschnitt des
Rotationszylinders dar, dessen Radius x = NE
und dessen Höhe y = EF ist.
Der Inkreis des gleichseitigen Dreiecks SGF
stellt einen Grosskreis der Inkugel dar.
Der Radius r dieses Kreises (Mittelpunkt M)
ist zugleich der Radius der Inkugel.
Die Seiten des Dreiecks SGF sind:
GF = FS = SG = 2x
Sei J der Mittelpunkt der Seite GF, dann ist JS
die Höhe h im Dreieck GFS ;
NS = H ist die Höhe H im Dreieck ABS.
Beide Höhen lassen sich aus den entsprechenden
Dreiecksseiten mit Pythagoras leicht berechnen.
Wir erhalten:
h = x * wurzel(3) und H = R * wurzel (3)
Damit berechnen wir y , ausgedrückt durch x:
y= H -h = (R-x) * wurzel(3)
Der Mittelpunkt M des Inkreises fällt mit dem
Schwerpunkt des Dreiecks SGF zusammen;
daher gilt: r = 1/3 * h = 1/3 *x * wurzel(3).
Jetzt können wir die Summe V der Volumina von
Zylinder und Kugel anschreiben und zwar als
Funktion V = V(x) wie verlangt. Es kommt:
V = Pi * x^2 * y + 4/3 * Pi* r^3 =
= Pi/3*[3*x^2*wurzel(3)*(R-x)+12/27*x^3*wurzel(3)]
Um Vmax zu bestimmen, brauchen wir bloss den Inhalt
der eckigen Klammer näher zu untersuchen;
wir bezeichnen ihn mit f(x)
Nach einer Vereinfachung erhalten wir:
f(x) = 3*x^2*wurzel(3)*R - 23/9 * x^3 *wurzel(3)
Wir bestimmen die erste Ableitung:
f ' ( x ) = 6*x * wurzel(3) * R - 23 /3 *x^2 * wurzel(3)
Die von x = 0 verschiedene Nullstelle von f '(x) lautet:
x = 18 / 23 * R.
Die zweite Ableitung ist an dieser Stelle negativ,
nämlich - 6 * R * wurzel(3), also liegt ein Maximum vor
Vmax bekommt man durch Einsetzen des berechneten
x-Wertes in die Volumenformel V = V(.x).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Meike Bauer (Meike)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 15:29: |
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Vielen Dank, das hilft mir schon sehr weiter. Nur mit der fahnenstange kann ich noch nicht viel anfangen, könnte mir da vielleicht noch jemand helfen, das wäre echt supernett. Vielen Dank bis dann Meike |
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