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Beitrag |
    
Chris
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. September, 1999 - 11:35: | 
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Hallo!
1.)
Mit Hilfe des Einschliessungskriteriums zeige man, dass die Folge {tn} mit tn=-n+(n(n+c))^1/2, c>0 konvergiert und berechne t = lim tn für n gegen +unendlich.
Weiter gebe man eine Abschätzung für Betrag (t-tn) an.
2.)
Man zeige durch Anwendung des Hauptsatzes über monotone Folgen, dass dier Folge {sn} mit
sn = Summe mit v=1 bis n (1/v^2) = 1+ 1/4+ 1/9+ ...+1/n^2 konvergiert. Zum Nachweis der Beschränktheit zeigt man am besten ( etwa durch vollständige Induktion), dass sn < 2-1/n <2 für alle n ist.
Benötige zum besserem Verständins, die Lösungen etwas ausführlicher als normal! Ich hoffe es wäre bis Montag möglich.
Danke |
Ingo
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 1999 - 01:13: |
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Vielleicht etwas spät,aber ich wollte sie dennoch beantworten.Vielleicht hilfts ja noch,oder zumindest jemand anderem.
Für 1) ist folgendes zu beachten : 1+x/2 ³ Wurzel(1+x) ³ 1+x/2-x2 für x>0
Dies sieht man ein,indem man die drei Funktionen zeichnet,oder einfach ein Paar Werte x>0 in der Nähe von 0 einsetzt.
Mithilfe dieser Einschachtelung,läßt sich die Aufgabe recht einfach lösen :
tn=-n+Wurzel(n(n+c))=-n+nWurzel(1+c/n)
nach obiger Formel gilt weiter
-n+n(1+c/(2n)) ³ tn ³ -n+n(1+c/(2n)-(c/n)2)
jetzt müssen nur noch die Klammern aufgelöst werden
-n+n+c/2 ³ tn ³ -n+n+c/2-c2/n
beide Seiten konvergieren gegen c/2,also auch tn.
2)
Monotonie dürfte klar sein,da ja immer ein positiver Wert dazu addiert wird.
Beschränktheit :
Ist die Formel erst einmal bewiesen,dann ist sn<2 und somit beschränkt.
Ind.Verankerung : s1=1=2-1/1
Ind.Annahme : Die Formel gelte für ein bestimmtes n.
Ind.Schluß : sn+1=sn+1/(n+1)2 £ 2-1/n+1/(n+1)2 = 2-1/(n+1)*[(n+1)/n - 1/(n+1)]
= 2-1/(n+1) * [1+1/n-1/(n+1)] < 2-1/(n+1)
q.e.d.
Zum letzten Schritt [1+1/n-1/(n+1)]>1,da dieser Wert aber abgezogen wird,wird das Ergebnis größer,wenn mit 1 gerechnet wird. |
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