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Steffi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 14:57: | 
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Ich soll die n-te Ableitung von
f(x) = (-1)^n * n! * x^(-n-1) beweisen.
Allerdings muss ich in meinem Rechenweg irgendetwas falsch machen. Kann mir jemand zeigen, wie man es mit Hilfe der vollständigen Induktion richtig beweist? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 10:57: |
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Zeige : die k.Ableitung lautet
f(k)(x)=(-1)n+k(n+k)!x-n-1-k
k=0 ist klar
Ist die Behauptung aber für ein bestimmtes kÎIR bewiesen,dann gilt auch
f(k+1)(x) = (-1)n+k(n+k)!(-n-1-k)x(-n-1-k)-1 = (-1)n+k+1(n+k+1)!x-n-1-(k+1)
Demnach ist die n.Ableitung von f
f(n)(x) = (-1)2n(2n)!x-2n-1 = (2n)!x-2n-1 |
Steffi
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 10:28: |
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Hallo Ingo!
Danke für deine Hilfe.
Eine Sache ist mir aber nicht ganz verständlich. Ich habe gelernt n durch k zu ersetzen, warum muss ich dann bei dieser Aufgabe (n-k) schreiben?
Es wäre nett, wenn du mir dies noch erklären könntest. |
Ingo
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 03:09: |
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Die Funktion f hängt vom Parameter n ab. Wenn Du mal die ersten beiden Ableitungen ausrechnest kommst Du auf
f '(x) = (-1)nn!(-n-1)x-n-1-1 = (-1)n+1(n+1)!x-n-2
f ''(x)= (-1)n+1(n+1)!(-n-2)x-n-2-1 = (-1)n+2(n+2)x-n-3
Wenn Du Dir das anschaust erkennst Du ein Muster(hoffentlich) und ersetzt nun die Stellen an denen sich die Konstanten ändern durch die "Nummer" der Ableitung. Da man die Induktion nicht nach n führen kann(Denn durch Variation des n liegen ja ganz andere Funktionen vor),muß man sie nach der Ableitung führen und das ist die jeweils die k.,denn das n ist für die Funktion ja konstant. |
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