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Beitrag |
    
Uwe Müller (Signer)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 13:06: | 
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Hi
Gegeben sei F(x,y) = 5x² - 6xy – 3y² + 2x + 18y – 43 = 0.
Man bringe f(x,y) durch eine geeignete Transformation auf eine Form, in der das gemischt-quadratische Glied fehlt.
Um welchen Kegelschnitt handelt es sich hierbei?
Danke. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 21:30: |
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Hi Uwe,
Ich zeige dir zunächst eine eher konventionelle Art,
Deine Aufgabe zu lösen .
Dabei gehe ich genau auf die Fragestellung ein im
Sinne einer Optimierung des Aufwandes.
Wir bestimmen die Art des Kegelschnittes und geben
die gewünschte Transformation an.
Die allgemeine Gleichung zweiten Grades, durch die
alle Kegelschnitte erfasst werden, lautet:
A x^2 + 2 B x y + C y ^2 + 2 D x + 2 E y + F = 0.
Im vorliegenden Beispiel gilt für die Koeffizienten:
A = 5 , B = - 3 , C = -3 , D = 1 , E = 9 , F = - 43 .
Aus der Theorie ist bekannt, dass das Vorzeichen
einer mit A , B und C gebildete symmetrische
Determinante delta darüber entscheidet, welcher Typus
des Kegelschnitts vorliegt.
Die Elemente dieser zweireihigen Determinante sind:
a11 = A, a12 = a21 = B , a22 = C.
Für unser Beispiel gilt : delta = - 24.
Der negative Wert sagt aus , dass es sich um eine
HYPERBEL handelt
Der Drehwinkel alpha für die Drehung des Koordinatensystem
mit dem gewünschten Effekt, dass kein xy -Glied mehr auftritt,
kann mit der Formel
tan (2*alpha ) = 2 * B / ( A - C ) bestimmte werden.
Es kommt:
tan(2* alpha) = - ¾
Mit Goniometrie berechnen wir sin ( alpha ) und cos ( alpha )
(Man kann dazu auch einen Rechner einsetzen).
Die Doppelwinkelformel des tan liefert für m = tan(alpha)
die Gleichung
2* m / ( 1 - m ^2 ) = - 3 / 4 , daraus m1 = 3 , m2 = - 1/3
Nehmen wir m = tan (alpha ) = 3 ; daraus folgt
cos ( alpha ) = wurzel(10) / 10, sin(alpha ) = 3/10* wurzel(10)
Die Drehformeln lauten
x = x' cos (alpha) - y' sin (alpha) = 1/10*wurzel(10) * {x' - 3y' }
y = x ' sin(alpha) + y' cos (alpha ) = 1/10*wurzel(10) * {3x' + y' }
Setzt man dies in die gegebene Gleichung ein, so erlebt man
mit Genugtuung, dass sich die Glieder mit x'y' wegheben ,
und dies war der Zweck der Uebung.
Wir erhalten:
- 4 x' ^2 + 6 y' ^2 + L(x',y') , wobei L eine Linearform in x' , y'
darstellt ,die vorläufig nicht weiter interessiert.
Damit ist die Aufgabe vordergründig gelöst; es bleiben noch
Detailfagen : Mittelpunkt ? Halbachsen ? etc.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 07:43: |
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Hi Uwe,
In diesem Beitrag zeige ich Dir , wie man den Mittelpunkt
der gegebenen Hyperbel findet.
1.Methode : Mit Formeln
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Der Mittelpunkt M(xM/yM) ergibt sich als Schnittpunkt
der Geraden
A x + By + D = 0
B x + Cy + E = 0
In unserem Beispiel gilt: A = 5 , B = - 3 ,C = - 3 , D = 1 , E = 9.
(F wird nicht benötigt)
Die Geraden sind:
5 x - 3y + 1 = 0
- 3 x - 3y + 9 = 0
Das Gleichungssystem hat die Lösung x = 1 ,y = 2
Mittelpunkt: M(1 / 2)
2.Methode : mit Differentialrechnung
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Wir leiten beide Seiten der Hyperbelgleichung (implizit) nach x ab.
Es entsteht:
10 x - 6 x y ' - 6y - 6 y y ' + 2 + 18 y ' = 0
Auflösung nach der Ableitung y':
y' = (10x - 6y +2 ) / ( 6x + 6y - 18 )
Wir suchen zwei Durchmessergeraden.
Wir finden sie , indem wir einerseits fordern y ' = 0, andrerseits
1 / y ' = 0 .
Mit anderen Worten: wir setzen einmal den Zähler null,
ein andermal den Nenner, und wir erhalten dasselbe
Gleichungssystem wie bei der ersten Methode.
Zum Abschluss führen wir eine Parallelverschiebung des
Koordinatensystems durch:
Zum neuen Nullpunkt wird der Mittelpunkt M der Hyperbel
gewählt (alte Koordinaten:x,y; neue Koordinaten:X.,Y);
Transformationsgleichung: x = X +1 , y = Y + 2
Die linearen Glieder in X und Y verschwinden;
im neuen System lautet die Gleichung der Hyperbel:
5 X ^ 2 - 6 X Y - 3 Y ^ 2 - 24 = 0
Die quadratische Form hat sich bei dieser Transformation
nicht geändert.
Diese schönen Dinge wollte ich Dir nicht vorenthalten !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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