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Agnes
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 17:02: | 
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Geometrie war noch nie meine Stärke und jetzt muss ich auch noch die vollständige Induktion dort anwenden. Wer kann mir bei folgenden Aufgaben helfen?
1.
Man bestimme die Menge der Punkte, für welche die Summe der Quadrate der Abstände von n gegebenen Punkten konstant ist.
2.
In wieviel Teile wird der Raum von n Kugeln zerlegt, von denen je drei einander in zwei Punkten schneiden und keine vier durch eine Punkt gehen.
Vielen Dank |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 21:55: |
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Hallo Agnes, kannst Du zumindest für 1. und 2. den Induktionsanfang finden? Allerdings dachte ich bisher immer, durch vollst. Ind. soll man etwas beweisen und nicht bestimmen! |
Agnes
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 23:10: |
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Hallo Leo!
Für die erste Aufgabe weiß ich nur soviel, dass a1 = a2 = ... = an als Voraussetzung zu setzen ist. (normalerweise stehen die Zahlen rechts unten vom a, ich habe aber keine Ahnung, wie ich dies schreibe)
Bei der zweiten Aufgabe blicke ich absolut nicht durch.
Eigentlich dachte ich auch, dass ich durch die vollständige Induktion etwas beweisen will, aber anscheinend dient sie auch zur Bestimmung von geometrischen Orten. (habe ich zumindest gelesen)
Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen, es ist nämlich sehr wichtig für mich. |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 10:42: |
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Hallo Agnes, ich komme leider auch nicht darauf, aber ich werde jemanden darauf aufmerksam machen, der sich damit vielleicht etwas besser auskennt. |
Marco
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 11:56: |
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Hallo Agnes,
das sieht so nach Wettbewerbsaufgaben aus.
Deshalb bevor sich weitere den Kopf zerbrechen:
Versprichst Du uns, daß die Aufgaben nicht aus einem laufenden Wettbewerb sind? Woher hast Du die Aufgaben? Hausaufgaben?
Ciao, Marco |
Agnes
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 19:50: |
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Hi Marco!
Nein, es sind keine Wttbewerbsaufgaben. Ich benötige sie, da ich für den Unterricht eine Arbeit über vollständige Induktion in der Geometrie anfertigen muss. Die Aufgaben sind aus dem Buch "Die vollständige Induktion" von drei russischen Mathematikern.
Ehrlich. Wenn du mir anhand dieser Beispiele das Prinzip erklären könntest, dann wäre mir sehr geholfen, denn die Lösung in diesem Buch ist so geschrieben, dass ich absolut nicht durchblicke.
Es wäre nett, wenn du mir weiterhelfen könntest.
Agnes |
Agnes
| | Veröffentlicht am Freitag, den 05. Januar, 2001 - 19:54: |
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Noch etwas!
Mir wäre auch schon geholfen, wenn du mir vielleicht ein Buch empfehlen könntest, in dem ich Aufgaben zur vollständigen Induktion in der Geometrie finde, und dessen Erklärungen und Lösungen auch für solche Leute verständlich sind, die in der Geometrie nicht so bewandert sind.
Agnes |
Marco
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 22:59: |
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Agnes,
was meinst Du damit, daß
a1=a2=...=an
als Voraussetzung zu setzen ist?
Das verstehe ich nicht? Voraussetzung ist, daß die n Punkte gleich sind??
Marco |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Januar, 2001 - 23:48: |
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1.
Man bestimme die Menge der Punkte, für welche die Summe der Quadrate der Abstände von n gegebenen Punkten konstant ist.
Wenn n=1, dann liegen diese Punkte auf einem Kreis.
Wenn n=2, dann haben wir eine Ellipse.
Für n>2 habe ich mir das noch nie vorgestellt.
Vielleicht versuche ich mal eine Formel:
Erste Problem: sind Punkte in der Ebene zu betrachen ? oder im Raum? Oder in was?
Ich nehme mal die Ebene. Ein Punkt pi hat die Koordinaten (xi,yi), 1<=i<=n mit n>0.
Wenn n=1:
Zu beschreiben ist die Menge aller Punkte (x,y), für die das Quadrat des Abstands von einem gegebenem (x1,y1) konstant ist. Sagen wir, die Konstante heißt r2.
Dann kann man diese Punkte beschreiben als Menge:
{(x,y)eR2 | (x-x1)² + (y-y1)² = r2 }. Das ist ein Kreis mit Radius r um dem Punkt (x1,y1).
Für zwei Punkte:
{(x,y)eR2 | (x-x1)² + (y-y1)² + (x-x2)² + (y-y2)²= r2 }.
Das ist eine Ellipse, denn die Summe der Abstände zu zwei Punkten ist konstant.
Das kann man auch für n=3 hinschreiben:
{(x,y)eR2 | S3 i=1 (x-xi)² + (y-yi)² = r2 }.
Aber was bedeutet das.
Und was meint die Aufgabe, wenn "die Menge dieser Punkte bestimmt werden soll"?
Also bestimmt habe ich sie. Das ist aber bisher weder anschaulich, noch sonstwie erhellend.
Mir fällt nicht ein, was ich hier mit Induktion soll.
Leider.
Dagegen riecht die zweite Aufgabe echt nach Induktion. Für n=1 haben wir eine Kugel. Diese zerlegt den Raum in zwei Gebiete: eines innerhaltb der Kugel, eines außerhalb.
Nun versuche ich eine Kugel hinzuzunehmen. Und da ist die Aufgabe leider nicht bestimmt genug. Ich kann die zweite Kugel so legen, daß sie außerhalt der ersten Kugel liegt und die erste Kugel nicht berührt. Dann gibt es 3 Gebiete. Wenn ich die zweite Kugel aber mit der ersten Kugel echt schneide, dann hat man 4 Gebiete. Und wenn die zweite Kugel genau gleich liegt, wie die erste (gleicher Radius, gleicher Mittelpunkt), dann bleibt es bei 2 Gebieten.
Und all das ist durch die Aufgabe nicht ausgeschlossen, denn erst für 3 Kugeln wird etwas gefordert. An nur zwei Kugeln gibt es keine Bedingungen.
Vielleicht sollte man n>=3 voraussetzen.
Also es gibt einige Fragezeichen.
Hat jemand von Dir verlangt, gerade diese Aufgabe für eine Facharbeit über vollständige Induktion zu nehmen? Scheint mit einerseits nicht besonders geeeignet (selbst wenn die russischen Autoren hier die vollst. Induktion anwenden mögen) und andererseits ist das sicher weit über dem Niveau von Klasse 11.
Wenn es um Geometrie und vollst. Ind. geht, dann gibt es schöneres. Beispiel: http://www.zahlreich.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi?25/6255
Gruß
Matroid |
Agnes
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Januar, 2001 - 08:40: |
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Hi Leute!
Vielen Dank für eure Hilfe. Mir scheint, dass ich diese beiden Aufgaben nie verstehen werde, darum mache ich mich lieber auf die Suche nach anderen.
Eine Frage habe ich allerdings noch:
Das Prinzip der vollständigen Induktion ist mir klar. Kann es aber sein, das in der Geometrie der Lösungsweg etwas anders ist, als wenn ich einfach durch Rechnung auf das Ergebnis komme. Gibt es in der Geometrie irgendetwas besonderes zu beachten?
Danke für eure Hilfe
Agnes |
anonym
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 21:17: |
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Aus reinem Interesse:
Wer kann mir bitte, den Induktionsbeweis führ die bekannte Formel:
Summenzeichen i i=1 (über dem Summenzeichen: n)
ist gleich (n/2)(n+1)
noch einmal aufschreiben?
Vielen Dank! |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 21:43: |
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Schau bei Das Prinzip der vollständigen Induktion
Gruß
Matroid |
kerl
| | Veröffentlicht am Samstag, den 28. April, 2001 - 22:36: |
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n=1=> 1=1/2*(1+1) (Induktionsanfang)
Schritt:
n->n+1
Sn+1 i=1i=Sn i=1i+(n+1) =(Ind.Vor.) n/2*(n+1)+(n+1)=1/2*(n*(n+1)+2*(n+1))=
(n+1)/2*(n+2)
somit ist die Gleichheit gezeigt |
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