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Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Januar, 2001 - 21:43: | 
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Hi, ich habe vorhin schon denselben Beitrag eingestellt, leider ist er nicht erschienen :-%
Zunächst mal gutes neues Jahr.
Frage: wie sind isoelastische Funktionen definiert? Müssen sie nur über jeweils gleiche Intervalle dieselbe Elastizität haben, oder muss über jedes beliebige Intervall die gleiche Elastizität gelten, oder müssen sie in jedem Punkt dieselbe Elastizität haben.
Ferner: gibt es Geraden, die isoelastisch sind? Z.B. habe ich für eine Gerade mit der Steigung +1 immer dieselbe Elastizität herausbekommen.
Ausserdem habe ich mich mit Funktionen der Form c=a*x*b*y + d (c,d constant) befasst, diese scheinen alle isoelastisch zu sein, weil eben eine constante der Funktionswert ist, und sich x sowie y somit nur "ergänzen" können. Dadurch nimmt x um die entsprechende Rate ab, wie y zunimmt, und der Quotient der prozentualen Zu- udn Abnahmen bleibt somit constant. Kann man also sagen, diese Funktionen sind isoelastisch?
Hintergrund: Indifferenzkurven in Mikroökonomik. Wenns jemand interessiert: gerne weitere Ausführungen dazu (Ist garnicht so staubtrocken die Sache).
Viele Grüße
Fuzzylogik |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 19:31: |
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Hallo Fuzzylogik, ich habe leider weder in einem Buch noch im Internet die Definition der Elastizität einer bzw der Isoelastizität zweier Funktionen gefunden. Gibt es keine Bücher zu Mikroökonomie,wo das drinsteht? In Mathebüchern habe ich nichts gefunden.Ich denke nur, daß dieses Thema weniger zu 'lin.Gleichungssystemen' als zu 'Differentiation' gehört.Oder täusche ich mich da? |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 22:39: |
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Hallo Leo, ich bin ein Stück weitergekommen! In meinem Buch über Mikroök. (Mankiw) steht nur, dass es isoelastische Fn gibt, mehr nicht.
Zunächst die Elastizität: ein Maß für die Veränderung der Steigung einer Funktion, jedoch nicht absolut, sondern in Prozent. D.h. grundsätzlich wird wie beim Differentialqwuotient vorgegangen, nur halt werden die Veränderungen von x und y in Prozent angegeben.
Man unterscheidet: Punktelastizität = Elastizität in einem Punkt, errechenbar aus f`(x)*(x/f(x)).
Intervallelastizität: dasselbe, nur dass h bzw die Veränderung nicht gegen 0 geht.
Das übrige sind VWL-Definitionen, z.B. Preiselastiz. der Nachfrage, des Angebots, des Einkommens, gegenüber der Menge von Substituten und Komplementen (Kreuzpreiselastizität).
Zum interessanten Teil: es gibt Funktionen, bei denen die Elast. in jedem Punkt gleich ist, daher der Name "isoelastisch". Das sind Hyperbeln o.g. Form, aber auch Ursprungsgeraden der Steigung(!) 1. Ich nehme an (durch Ausrechnen), dass diese Ursprungsgeraden auch "einheitselastisch" sind, d.h. in jedem Punkt ist die Elastizität auch noch gleich |1|, d.h. -1 kann ebenso vorkommen als Einheitsel. Das kommt daher, dass x und y proportional zunehmen. Interessant ist auch, dass Geraden mit negativer STeigung die Elastizität |1| genau in der Mitte zwischen Nullpunkt und Schnittp. mit Abszisse haben. Ausserdem wird genau in diesem Punkt ein unter der Gerade eingezeichnetes Viereck maximal (im Fall VWL repräsentiert die Fläche dieses Vierecks den Umsatz, weil x=Menge und y=Preis, x*y = Umsatz) - das kann man durch Extremierung der Fläche dieses Vierecks nachweisen. Steigt dagegen die gerade (Angebotskurve), gibt es keine max. A des Vierecks, denn mit x--> unednl. wird die Fläche des eingezeichneten Vierecks auch unendlich groß. Gehst Du von diesem speziellen Punkt um|a| nach "hinten oder vorne", so ist die Elast. jeweils ihr Kehrwert.
Darüberhinaus scheint es so zu sein, dass im Schnittpunkt von Ursprungsgerade (mit M=1) und Hyperbel, der Wert der Ableitung der Hyperbel an diesem Punkt genau ihrer Punktleastizität entspricht. Das habe ich aber nur an zwei Bsp. überprüfen können (Zeitmangel).
So, das war so ziemlich alles, was ich heute rausgefunden habe, in aller Kürze. Wenn Du willst, kannst Du verschiedenes nachprüfen, und Korrekturen hier mitteilen. Dafür wäre ich dankbar.
Viele Grüße
Fuzzylogik
P.S.: ich habe auch nichts weiter über Elastizität in der Literatur gefunden, daher beruht das meiste hier alles auf meinen Berechnungen - also "alle Angaben ohne Gewehr"!! |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 18:16: |
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Noch ein nachtrag: über Elastizitäten steht einiges in Woll, "Allgemeine Volkswirtschaftslehre", Verlag Vahlen. Hab ich erst gemerkt, als ich schon selber überlegt habe - naja, soll ja auch nicht schlecht sein.
Grüße
Fuzzylogik |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 19:19: |
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Hallo Fuzzylogik,
ich bin heute mit dem Zug nach Jena gefahren und habe ein wenig über die Elastizität von Funktionen nachgedacht und rumprobiert. Ich habe leider immer noch nicht herausgefunden, wie Isoelastizität genau definiert ist. Mir ist aufgefallen, daß für Potenzfunktionen mit Spiegelentrum im Ursprung konstante Elastizität gilt:
f(x)= c*xn => f'(x)*x/f(x) = n
Darunter zählen auch die Geraden, aber beispielsweise auch f(x)=25x7 ist isoelastisch mit dem Wert 7.Interessant war auch die Elastizität des nat.Logarithmus : f'(x)*x/f(x)=1/f(x)
oder der Exponentialfunktion:
f'(x)*x/f(x)=x,
aber das nützt Dir wahrscheinlich überhaupt nichts,das kannst Du ja selbst berechnen.
Ist das für eine Facharbeit? Oder,was ich mir nicht vorstellen kann, regulärer Schulstoff?
Eine weitere Klasse isoelastischer Funktionen als Ursprungsparabeln kann ich mir momentan nicht vorstellen, aber vielleicht läuft mir noch irgendetwas über den Weg, dann melde ich mich wieder.
Grüße Leo |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 19:48: |
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Ach ja,noch mal zu den Hyperbeln 1.Grades der Form f(x)=n/x für n>0
Es gilt: f'(x)=-n/x2
der Schnittpunkt mit f(x)=x ist : x=Ön
somit ist f'(Ön)=-1
und f'(x)*x/f(x)=-1 für alle n
Also ist allgemein gezeigt, daß bei Hyperbeln im Schnittpunkt mit f(x)=x die Ableitung und die Elastizität gleich ist. |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 20:55: |
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Hallo Leo!
Tja, das sind zwei neue Vereinfachungen mit ln und e, die mir noch nicht aufgefallen sind. Und der obige Nachweis ist auch sehr interessant.
Wegen der Isoelastizität: das meint ja nur, dass in jedem Punkt der Funktion die Elastizität gleich ist, wie bei den o.g. Hyperbeln.
Insgesamt wird das Thema etwas stiefmütterlich behandelt scheinbar. In Woll steht jedoch nachzulesen, dass tatsächlich die Einheitselastizität bei einer Funktion sowie ihrer Umkehrfunktion im gleichen Punkt vorliegt.
Die Sache brauche ich eigentlich gar nicht, es ist mir im Zusammenhang mit den Elastizitäten z.B. der Nachfragefunktion über den Weg gelaufen. Da hat es mich interessiert, ob ich mir verschiedene Vereinfachungen für die Klausur zusammenstellen kann, aber risikoärmer scheint es zu sein, jedesmal die Ela kurz auszurechnen ;-)) Aber es ist dann doch sehr interessant, der Sache auf den Grund zu gehen. Nur eben wegen der Klausuren habe ich nicht allzuviel Zeit dafür. Ärgerlicherweise, denn mit Sicherheit gibts da noch mehr Zusammenhänge.
Diese Ela`s sind Stoff im Erstsemester BWL.
Viele Grüße
Fuzzylogik |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 22:31: |
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In welcher Stadt studierst Du,wenn ich fragen darf? |
Fuzzylogik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 04. Januar, 2001 - 11:23: |
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Hallo Leo!
Ich studiere an der FH Köln. Bisher nur beste Erfahrungen, auch einige Monate nach Studienbeginn! Der Umzug hat sich gelohnt.
Viele Grüße
Fuzzylogik |
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