    
SpockGeiger (Spockgeiger)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 31. Dezember, 2000 - 00:15: | 
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Hi Labberduddel
Für die erste Aufgabe wähle ich möglicherweise einen etwas umständlichen
Weg, aber im bin im Basisumrechnen im Moment nicht so fit.
Es gilt immer logbx=logmx/logmb für beliebige Basen b und m.
Damit formen wir die erste Gleichung um (wobei ich die Basis m bei den
Logarithmen weglasse):
log x/log a+log y/log a²=3/2
Wenn man im Algorithmus potenziert, kann man den Exponenten auch als
Vorfaktor schreiben, das ergibt:
log x/log a+log y/(2log a)=3/2
Wir multiplizieren die Gleichung mit 2log a:
2log x+log y=3log a
Jetzt nehmen wir m^"die Gleichung", und wenden Exponentialgesetze an:
(mlog x)²*mlog y=(mlog a)3
Da der Logarithmus genau die Umkehrfunktion zum Exponenzieren ist, ergibt
sich:
x²y=a³ nach y aufgelöst also y=a³/x² (x kann eh nicht 0 sein, da man davon
den Logarithmus genommen hat)
Analog kann man die zweite Gleichung zu
xy²=b³
umformen, einsetzen ergibt:
xa6/x4=b³
a6=b³x³,also x=a²/b
Einsetzen in die erste ergibt (oder einfach Argumentation mit Symmetrie):
y=b²/a
In dem zweiten System löst Du die erste Gleichung nach einer der Variablen
auf. Das setzt Du in die zweite Gleichung ein, multiplizierst aus, und dabei
verschwindet der kubische Term. Die quadratische Gleichung ist einfach zu
lösen, sieht zwar nicht schön aus, ist aber selten. Einsetzen in die erste
liefert den Wert der anderen Variable (wobei es je nach Wert von a und b
verschieden viele Lösungen geben kann, abhängig davon, wie dann die
Diskriminate aussieht)
viele Grüße
SpockGeiger |
