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Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 10:22: | 
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Wer kann mir weiterhelfen?
Ich soll folgenden Satz durch vollständige Induktion beweisen.
(a+b)^n = (n über 0)*a^n*b^0 + (n über 1)*a^(n-1)*b^1 + (n über 2)*a^(n-2)*b^2 + ... + (n über k)*a^(n-k)*b^k + ... + (n über 1)*a^1*b^(n-1) + (n über n)*a^0*b^n
Vielen Dank im Voraus |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 16:45: |
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Hallo Anonym! (Deinen Vornamen kannst du ruhig nennen, oder?)
Induktionsannahme (IA):
(a + b)n = Sn i=0 (n über i)an-ibi
Induktionsbeginn (IB): n = 0
(a + b)0 = 1 = (0 über 0)a0b0 OK!
Induktionsschritt (IS): n - 1 --> n
(a + b)n = (a + b)n-1(a + b)
(wegen IA) = [ (n-1 über 0)an-1b0 + (n-1 über 1)an-2b1 + ... + (n-1 über n-1)a0bn-1 ] (a + b)
= (n-1 über 0)anb0 + (n-1 über 1)an-1b1 + ... + (n-1 über n-1)a1bn-1
+ (n-1 über 0)an-1b1 + (n-1 über 1)an-2b2 + ... + (n-1 über n-1)a0bn
= (n-1 über 0)anb0 + [(n-1 ü 0)+(n-1 ü 1)]an-1b1 + [(n-1 ü 1)+(n-1 ü 2)]an-2b2
+ ... + [(n-1 ü n-2)+(n-1 ü n-1)]a1bn-1 + (n-1 ü n-1)a0bn
= (n ü 0)anb0 + (n ü 1)an-1b1 + ... + (n ü n)a0bn qed
weil (n-1 ü 0) = 1 = (n ü 0)
und (n-1 über i) + (n-1 über i+1) = (n über i+1) für i = 0 ... n
(siehe auch Pascal'sches Dreieck)
Ich habe es nicht mit Summenzeichen geschrieben, da es so verständlicher ist.
Also dann guten Rutsch
Uwe |
Tini
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 17:05: |
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Vielen Dank Uwe!
Das Grundgerüst habe ich begriffen, aber woher weiß ich, dass (n-1 ü i) + (n-1 ü i+1) = (n ü i+1) für i=0...n ist?
Danke |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Januar, 2001 - 21:37: |
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Hallo Tini,
das lässt sich recht leicht über die Definition des Binomialkoeffizienten zeigen:
Definition:
Beweis:
Die beiden Brüche müssen auf den gleichen Nenner gebracht werden, um addiert werden zu können. Im ersten Bruch läuft das Produkt bis (n-i-1) bzw. bis i und im zweiten Bruch bis
(n-i-2) bzw. bis (i+1). Daher muss der erste Bruch mit (i+1) und der zweite mit
(n-i-1) erweitert werden.
Nachdem man nun ausgeklammert hat, ergibt sich (i+1)+(n-(i+1)) = n.
Und (n-1)! n = n!
Hoffe, dass du damit zurecht kommst.
Uwe |
Tini
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 03. Januar, 2001 - 23:13: |
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Ich danke dir, du hast mir sehr geholfen.
Ich wünsche dir ein erfolgreiches Jahr 2001.
Tini |
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