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Miriam
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 18:01: | 
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Welchen Grundkreisradius und welche Höhe hat der Kegel mit dem kleinsten Volumen, in den eine Kugel mit dem gegebenen Radius r paßt.
Vielen Dank im voraus
Miriam |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 16:13: |
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Hi Miriam,
Der Rotationskegel habe den Grundkreisradius R
und die Höhe h, Spitze S
Wir suchen zunächst eine Beziehung zwischen R, h
und dem gegebenen Radius r der Inkugel des Kegels.
Ein ebener Schnitt durch die Achse des Kegels ergibt
ein gleichschenkliges Dreieck SAB mit der Basislänge
AB=2R,der Basishöhe h und dem Radius r des Inkreises.
m = wurzel (R^2 + h^2) ist die Schenkellänge im
gleichschenkligen Dreieck und gleichzeitig
die Länge einer Mantellinie des Kegels.
Schliesslich sei s der halbe Umfang des Dreiecks SAB.
Es gilt: s = R + m = R + wurzel(R^2 + h^2)
Soviel zur Nomenklatur.
Aus der Planimetrie kennt man eventuell den Satz:
r * s = F, wobei F der Flächeninhalt des Dreiecks ist.
Aus dieser Gleichung erhalten wir:
r * [R + wurzel (R^2 + h^2)] = R * h;
wir lösen diese Beziehung nach der wurzel auf,
und wir erhalten:
wurzel ( R^2 + h^2) = R / r .* {h - r}
Durch Quadrieren entsteht:
(R ^ 2 + h ^ 2) * r^2 = R ^2 * ( h - r ) ^2
Beim Klammerlösen heben sich der Summand R^2 * r^2
und der Faktor h weg und es bleibt übrig:
r ^ 2 * h = R^2 * h - 2 * R ^ 2 * r , Auflösung nach R^2:
R^2 = r^2 * h / [h - 2r ]..................................................(NB)
Jetzt setzen wir das Volumen an:
V = 1/3 * Pi * R^2 * h ,
wenn wir (NB) benützen:
V = 1/3 * Pi r^2 * h ^2 / [h - 2r] ; von den konstanten Faktoren
dürfen wir absehen;
Wesentlich ist die Funktion in der Variablen h mit h > 2r:
f(h) = h^2 / ( h - 2 r ), die wir mit der Quotientenregel ableiten:
f ' ( h ) = [ (h-2r) * 2h - h^2 *1 ] / ( h - 2 r) ^2
= (h^2 - 4 r h ) / ( h - 2r ) ^2
Die wesentliche Nullstelle von f '(h) ist
h = 4r
Daselbst liegt ein Minimum vor, weil bei h = 4r
ein Vorzeichenwechsel bei f '(h) von minus zu plus vorliegt.
h = 4r führt mit (NB ) auf R = r * wurzel(2)
Es gilt V min = 8/3 *Pi * r^3
( das doppelte Volumen der Inkugel!!)
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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