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Susi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 12:02: | 
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Hallo, könnt ihr mir helfen bei folgender Aufgabe?
Vom Punkt P1 aus sollen Tangenten an die Kurve y=x²-x-2 gezogen werden. Wo liegen die Berührungspunkte und wie groß ist die Tangentensteigung? P1=(0/-6) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 13:17: |
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Hi Susi,
Für Deine Tangentenaufgabe führe ich Dir drei
verschiedene Methoden vor.
1.Methode:Diskriminantenmethode
Wir legen durch den Punkt P1 (0 /-6) eine beliebige
Sekante s und fordern, dass die beiden Schnittpunkte
A und B von s mit der Parabel zusammenfallen,
sodass s zur Tangente t wird.
Eine Doppellösung erzwingen wir dadurch, dass wir
die Diskriminante in der entstehenden quadratischen
Gleichung null setzen.
Durchführung
Die Sekante s habe die Steigung m ,wobei uns m als
Parameter dienen wird.
Gleichung von s: y = mx -6
Schnitt von s mit der Parabel durch Einsetzen:
mx - 6 = x^2 - x - 2, geordnet.
x ^ 2 - ( m + 1 ) x + 4 = 0.
Auflösung:
x1 = ½ * [m +1 + wurzel (D)] und x2 = ½ *[m+1-wurzel(D)] .. (I)
D ist die Diskriminante; mit der Formel D = b^2-4ac
kommt D = (m+1) ^ 2 - 16.
Damit x1 = x2 gilt ,muss D null gesetzt werden, d.h.
es muss gelten : m^2 + 2m - 15 = 0 , woraus sich zwei Steigungen
m1 = - 5 und m2 = 3 ergeben.
m1 = - 5 führt gemäss (I) auf x1 = x2 = - 2,
weiter mit der Parabelgleichung auf y1 = y2 = 4,sodass wir
den Berührungspunkt T1( - 2 / 4 ) erhalten
Die Tangentengleichung lautet.
t1 :y = - 5 x - 6.
m2 = 3 ergibt den Berührungspunkt T2 ( 2 / 0 ) und die Tangente
t2: y = 3x - 6
Weitere Methoden demnächst in diesem Board
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 13:51: |
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Hi Susi
Zweite Methode zur Ermittlung der Tangente
Wir setzen als Koordinaten des Berührungspunktes T
der gesuchten Tangente t :
xT = u , yT = v und stellen zur Berechnung von u und v
Gleichungen auf
Eine erste Gleichung ergibt sich daraus, dass T auf der
Parabel liegt, somit muss gelten:
v = u^2 - u -2.................................................................(I)
Die Tangente in t hat die Steigung m = 2 u - 1, wie sich
aus der Ableitung y' = 2x - 1 der Parabelgleichung ergibt.
Andrerseits hat die Verbindungsgerade P1 T , das heisst die
gesuchte Tangente, die Steigung s = (v + 6) / u wie
man aus den Koordinatendifferenzen der beiden Punkte
errechnet.
Durch Gleichsetzung von m und s erhält man eine zweite
Gleichung für die Berechnung von u und v
2 u - 1 = (v + 6 ) / u............................................................(II)
Aus(I) und (II) findet man:
u ^ 2 = 4 , also
u1 = - 2, daraus v1 = 4 , also T1 ( -2 / 4 )
u2 = 2 ,daraus v2 = 0 , also T2 ( 2 / 0 )
Das sind die Lösungen, die wir schon mit der
Diskriminantenmethode erhalten haben.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. Dezember, 2000 - 14:29: |
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Hi Susi
Dritte Methode zur Ermittlung der Tangente
Die Verbindungsgerade p1 der Berührpunkte
T1 und T2 der von P1 an die Parabel gelegten
Tangenten t1 , t2 ist die sogenannte Polare
des Punktes P1 (als Pol)
Man gewinnt bei gegebener Parabelgleichung
diese Polare durch das folgende Verfahren:
In der Parabelgleichung ersetzt man
x^2 durch x1* x ,
x durch (x + x1) / 2,
y durch (y + y1) / 2
dabei sind x1 und y1 die Koordinaten des Poles P1.
In unserem Fall entsteht aus der Parabelgleichung
y = x ^ 2 - x - 2 die Gleichung der Polaren p1:
½ * ( y + y1) = x1 * x - ½ * (x + x1) - 2 , vereinfacht:
y = 2 - x ;
diese Gerade schneiden wir mit der Parabel, und wir
erhalten wiederum aus x ^ 2 = 4 die Berührungspunkte
T1,T2 von früher.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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