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Effe (Effe)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 16:23: | 
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Hallo !
Ich habe hier eine Aufgabe die ich nicht so ohne weiteres lösen kann! Kann mir jemand helfen ? DANKE!!
Gegegeben sei f:[0;10]-> reelle Zahlen mit
f(x)=2x(hoch 4) -40x³+297x²-970x+1186
Untersuchen Sie, ob f achsensymmetrisch ist zu x=a mit geeigneten a Elemant der reellen Zahlen!
DANKE |
Uwe (Uwe)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Dezember, 2000 - 21:21: |
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Hallo Effe,
für Achsensymetrie zur y-Achse muss ja bekanntlich f(x) = f(-x) gelten. Falls die Achse aber nicht bei 0 liegt sondern bei a, prüft man, ob f(x + a) = f(-x + a) für alle x gültig ist. Man kann sich dieses +a anschaulich als eine Verschiebung des Graphen (und damit der Symmetrieachse) um a zur y-Achse vorstellen.
Also ...
f(x + a) = 2(x + a)4 - 40(x + a)3 + 297(x + a)2 - 970(x + a) + 1186
Es lohnt sich hier zuerst folgendes zu rechnen:
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
(x + a)3 = (x + a)2(x + a) = (x2 + 2ax + a2)(x + a)
(x + a)4 = (x + a)2(x + a)2 = (x2 + 2ax + a2)(x2 + 2ax + a2)
Wenn dies alles ausmultipliziert wurde, ergibt sich wieder ein Polynom:
f(x + a) = k4x4 + k3x3 + k2x2 + k1x + k0
Der Koeffizient k3 sollte schon die Achse a verraten. Dennoch muss ja noch
f(x + a) = f(-x + a) geprüft werden. Aber die Rechnung für f(-x + a) läuft parallel
und ist nicht mehr so schwer. Wenn dann die Koeffizienten für (-x + a) mit denen
von (x + a) übereinstimmen, liegt Achsensymmetrie vor.
Dabei ist noch zu beachten, dass für (-x + a) die ungeraden Koeffizienten sich vom Vorzeichen umdrehen, denn es wird ja -x eingesetzt und z.B. (-x)3 = -(x3)
Ich hoffe, du kommst damit ersteinmal weiter.
Bis dann ...
Uwe |
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