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Beitrag |
    
Jürgen
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Dezember, 2000 - 11:38: | 
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Die zahlen 1;3;6;10;15;21...in Fig.187.1 nennt man Dreieckszahlen. Im Buch ist hier eigentlich eine Zeichnung, aber ich denke es ist auch so klar wie die Folge weitergeht.
a)Zeige für die n-te Dreieckszahl an gilt:
an=(n+1)n/2
Ich verstehe hier zwar, warum die Formel richtig ist, aber ich weiss nicht wie ich es beweisen soll.
b)Beweise: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine Quadratzahl.
Ich hoffe jemand kann mir bei dieser Aufgabe helfen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Dezember, 2000 - 13:43: |
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Hi Jürgen ,
Bei der Folge der Dreieckszahlen handelt sich um eine
arithmetische Folge zweiter Ordnung
Die Folge der Differenzen
zweites minus erstes Glied, drittes minus zweites ,
viertes minus drittes u.s.w. ,also die Folge
2,3,4,5 .... ist eine gewöhnliche arithmetische Folge,
in der Hierarchie der arithmetischen Folge eine Folge
erster Ordnung
Für das allgemeine Glied an (n ist Index) der gegebenen Folge
setzt man ein Polynom zweiten Grades in der Gliedernummer n
an (n ist hier kein Index !), also:
an = p* n ^ 2 + q * n + r .
Die Unbekannten p, q, r bestimmen wir aus einem linearen
Gleichungssystem, welches dadurch entsteht, dass wir der
Reihe nach n = 1 , 2 , 3 einsetzen, die zugehörigen Werte
für an sind 1, 3, 6; somit :
n =1 : 1 = p + q + r
n = 2 : 3 = 4* p + 2*q + r
n = 3 : 6 = 9 * p + 3*q + r
Daraus folgt : p = q = ½ , r = 0
Die Formel lautet demnach:
an = ½ * n^2 + ½ *n = ½ * n*( n +1 ) , w.z.b.w.
Die Summe sn zweier aufeinander folgender Glieder
sn = a(n+1) + an beträgt
sn = ½ [(n+1)(n+2) + n*(n+1) = ½ *(n+1) * [ 2 n + 2 ] = (n+1)^2.
q.e.d.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. Dezember, 2000 - 15:26: |
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Hi Jürgen,
Ich zeige Dir noch eine weitere Möglichkeit
zur Herleitung der Formel für die Berechnung
des allgemeinen Gliedes a(n) der Dreieckszahlen.
Gemäss des Aufbaus einer arithmetischen Folge
zweiter Ordnung aus einer arithmetischen
Folge erster Ordnung können wir folgende n Zeilen
anschreiben:
a(1) = 1
a(2) = 2 + a(1)
a(3) = 3 + a(2)
a(4) = 4 + a(3)
.......................
a(n) = n + a(n-1)
________________
Wir bilden die Summen links und rechts über dem Strich;
viele Terme heben sich dabei weg; es bleibt bloss:
a(n) = 1 + 2 + 3 +............+ n
Nach einer bekannten Summenformel für die arithmetische
Reihe erster Ordnung steht auf der rechten Seite
der Term ½ * n * (n+1) ;wir sind am Ziel !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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