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Schlumpf
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Dezember, 2000 - 15:52: | 
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Suchen Sie alle reellen Zahlen
x element von (0,2pi), für die die Ungleichung
((sinx + sin3x + sin5x)/(cosx + cos3x + cos5x))>1
gilt!
Danke!!!! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Dezember, 2000 - 12:55: |
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Hi Schlumpf
In der Goniometrie gibt es ein paar schöne Formeln, die
bezüglich Deiner Aufgabe wie massgeschneidert sind.
Sie lauten:
1.
a) sin x + sin 3x + sin 5x +..... + sin [(2n-1) x] =
= [sin (n*x) ] ^2 / sin x
b) cos x + cos 3x + cos 5x +...+ cos[(2n - 1)x] =
= [sin (2 n x )] / [2 * sin x ]
2.
[ sin x + sin 3x + sin 5x +..........+sin{2(n-1) x} ] /
[ cos x + cos 3x + cos 5x +.........cos{(2n -1) x } ] =
= tan ( n x ) .
Diese Formeln gelten für alle natürlichen Zahlen;
sie können mittels vollständiger Induktion bewiesen werden
oder Nr.2 auch dadurch, dass man den Tangens durch Sinus
und Kosinus ausdrückt, die Brüche wegschafft ,die Gleichung
auf null bringt und zusammengefasste Gliederpaare mit Hilfe
des Subtraktionstheorems umformt.
Die gegebene Ungleichung nimmt nun mit n = 3 die einfache
Gestalt an:
tan 3x > 1
Man findet Lösungsintervalle für 3x und daraus sofort für x
Erstes Intervall: Pi / 12 < x < Pi / 6.
Zweites Intervall: 5 Pi/12 < x < Pi / 2
Zu den Intervallenden addieren wir der Reihe nach Pi/3
Insgesamt gibt es in[0.2Pi] sechs Lösungsintervalle dieser Art.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Dezember, 2000 - 21:55: |
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Hi Schlumpf ,
Im Formelpaket der Goniometrie gibt es zwei Formeln
zur Berechnung der Summe von Sinus- und Kosinuswerten,
mit deren Hilfe man das im letzten Abschnitt hergeleitete
Resultat bestätigen kann.
Diese Formeln lauten:
sin x + sin y = 2 * sin {( x +y ) / 2 } * cos { ( x - y ) / 2 }
cos x + cos y = 2* cos { (x + y ) / 2 }* cos { ( x - y ) / 2 }
Wir wenden diese Formeln je auf den ersten und dritten
Summanden im Zähler bezw. im Nenner an.
Wie erhalten für den gegebenen Quotienten T:
T = [2* sin(6x/2)* cos (-2x/2) + sin 3x]
/ [2 * cos(6x/2)* cos(-2x/2) + cos 3x ] =
[2*sin 3x* cos x + sin 3x] / [2 * cos 3x *cos x + cos 3x] =
[sin 3x * {2cos x + 1 }] / [cos 3x* {2 cos x + 1}] =
sin 3x / cos 3x = tan 3x, indem sich der Faktor (2 cos x + 1 )
wegkürzt.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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