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Beitrag |
    
Malte
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Dezember, 2000 - 09:42: | 
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nhoch3 + n ist für alle n element aus N teilbar durch 6.
Beweise dies durch vollständige Induktion |
Thomas Preu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Dezember, 2000 - 13:01: |
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Schreibweise: n|m heist n teilbar durch m; n\m heist n nicht teilbar durch m.
n^3+n ist nicht durch 6 teilbar für n e N.
Wiederlegung durch Gegenbeispiel: n=2 => 2^3+2=8+2=10; 10\6 => Aussage wiederlegt.
Aber: n^3-n
Wenn (n^3-n)|6 , so ((n+1)^3-(n+1))|6
Beweis: (n+1)^3-(n+1)=n^3 + 3*n^2 + 3*n + 1 - n - 1=(n^3-n)+(3*n^2+3*n)=(n^3-n)+3*n*(n+1); Da (n^3-n)|6 nach Voraussetzung müsste 3*n*(n+1)|6, also n*(n+1)|2; Es gibt 2 Teilmengen von N, die vereinigt N ergeben: die Menge der geraden Zahlen G und die Menge der ungeraden Zahlen U; Wenn n e G, so ist n|2 und somit auch n*(n+1)|2; Wenn n e U, so ist (n+1) e G, also (n+1)|2 und somit n*(n+1)|2. Also ist n*(n+1)|2 und 3*n*(n+1)|6 und letztendlich auch (n+1)^3-(n+1)|6, wenn n^3-n|6.
Da für n=1 n^3-n=1^3-1=0 gilt und 0|6 (0/6=0 mit Rest 0) sind alle Voraussetzungen einer vollständigen Induktion erfüllt. Somit ist n^3-n|6 für n e N.
PS: Ohne Vollständige Induktion ginge es einfacher: n^3-n=n*(n^2-1)=(n-1)*n*(n+1) (nach 3. binomischen Satz). Ähnlich wie oben gezeigt wurde, dass n*(n+1)|2 für n e N, kann gezeigt werden, dass (n-1)*n*(n+1)|3; da n*(n+1)|2 und 2 und 3 teilerfremd sind, gilt (n-1)*n*(n+1)|6 also auch n^3-n|6.
Schöne Weihnachten. |
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