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Stefan Beck (Sandman27)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 21:33: | 
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Wir haben heute eine Klausur geschrieben. Die Funktion lautete : 1/3*x^3 + k*x^2-(1-k)* x oder so Ähnlich.
Wir sollten bestimmen für welche k die Gleichung genau eine, und wann eine doppelte Nullstelle hat.
Die Lösung hab ich zwar, aber nur durch ausprobieren. Mann kann dieses Problem doch nur mit der allgemeinen Lösungsformel für polynome 3. Grades berechnen, oder wie sonst noch ? Mich hätte jetzt noch interessiert, wie es mit der allgemeinen Form funktioniert. Mit komplexen Zahlen kenne ich mich aus.
Danke. |
Dea (Dea)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 10:20: |
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Hallo Stefan,
zunächst einmal haben Polynome 3.Grades entweder eine oder drei Nullstellen. (Ein Polynom hat immer höchstens soviele Nullstellen wie Grad - doppelte Nullstellen werden auch doppelt gezählt)
Die Funktion, die Du oben beschrieben hast, ist von der Form
f(x)=ax^3+bx^2+cx, d.h. ohne d*x^0
Hier ist die 1. Nullstelle immer x1=0
Reduziert man nun das Polynom, bleibt
f(x)=ax^2+bx+c
übrig.
Dann kannst Du die Mitternachtsformel ansetzen. Damit erhälst Du 2 weitere Nullstellen, entweder beide reell oder beide komplex. In dem seltenen Fall, daß die Diskriminante verschwindet, hat das Polynom einen Berührpunkt mit der x-Achse, d.h. einer seiner Extrema liegt auf der x-Achse.
Wenn allerdings Dein Polynom von der Form
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
ist, brauchst Du wesentlich kompliziertere Formeln für die Berechnung der Nullstellen. Diese Formeln werden in der Schule nicht unterrichtet und stehen auch nicht einmal in der Standardformelsammlung der Mathe-Studenten (Bronstein). Daher gilt in der Schule Ausprobieren der 1. Nullstelle, was meistens einfach ist, und dann das Polynom reduzieren.
Ich hoffe, daß ich Dir helfen konnte.
Frohe Weihnachten, Dea |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 13:59: |
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Hi Dea , Hi Stefan
Ueber Kriterien zur Lösungsmannigfaltigkeit kubischer
Gleichungen findet man in Formelsammlungen so gut wie nichts
Ich habe mir daher die Mühe genommen, darüber ein wenig zu
berichten ( alles ohne Beweis ).
Die Resultate sind namentlich für theoretische Betrachtungen von
Bedeutung.
Zunächst ein Beispiel aus der Praxis des Schulalltages
Aufgabe
Man zeige, dass die kubische Gleichung x ^ 3 - 3 x + 2
eine Doppellösung hat.
Wir müssen zeigen ,dass die Funktionskurve f(x) = x^3 - 3x + 2
die x-Achse in einem Punkt B(u / 0) berührt.
Die Nullstellen der Ableitung f '(x) = 3 x ^ 2 -3 sind x1 = 1
und x2 = - 1; wir berechnen die zugehörigen Funktionswerte:
f(x1) = 0 , aber f(x2 ) ungleich null, somit liegt bei x = 1 eine
doppelte Nullstelle vor.
Wir kommen auf dieses Beispiel zurück.
Wenn eine kubische Gleichung der Gestalt
x ^ 3 + A x + B x + C = 0 vorliegt, wird man sie in diesem
Zusammenhang durch eine geeignete Substitution in eine
kubische Gleichung ohne ein Glied zweiten Grades verwandeln.
Dies geschieht durch die Transformation x = y - A / 3;
Man erhält:
y^3 + a*y = b , wobei
a = B - 1 /3 * A ^ 2 , b = - 2 / 27 * A^3 + 1 / 3 * A * B - C gilt.
Nun bilden wir R = ¼ * b^2 + a ^ 3 / 27 und
D = 4 * 27 * R = - 27 * b^2 - 4 * a ^ 3
D wird Diskriminante genannt, weil es gerade auf den Wert von D ankommt,welcher Fall vorliegt ( von lat.discriminare unterscheiden)
Es gilt der bemerkenswerte Satz.
D = 0 ist die notwendige und hinreichende Bedingung für eine
Doppellösung der genannten kubischen Gleichung .
Die Lösungen der y-Gleichung lauten in diesem Fall:
y1 = 2* [dritte Wurzel (b/2)] , y2 = y3 = - [dritte wurzel( b/2)]
Wenn die Diskriminante D positiv ist, so sind die drei Lösungen
reell.
Ist D negativ, so ist eine Lösung reell und die beiden anderen sind
konjugiert komplex
Tertium non datur !
Wir wenden diese Erkenntnis auf das obige einfache Beispiel an.
Es liegt bereits die y-Gestalt vor (x = y), nämlich
y ^ 3 - 3 y = 2
a = - 3, b = - 2
R = 1 - 1 = 0 , D = 0
y1 = 2 * [dritte wurzel (-1)] = - 2 ,
y2 = y3 = - [dritte wurzel(-1)] = 1
Analoge Resultate gibt es auch für die allgemeine Gleichung
vierten Grades; auch hier benützt man eine Diskriminante von
ganz ähnlicher Gestalt.
Die vorliegenden Ausführungen sollten und müssen genügen
Mit den besten Wünschen und Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Stefan Beck (Sandman27)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 20:07: |
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Hallo Ihr,
erstmal sage ich auch danke schön für eure Hilfe. Ihr habt mir wirklich sehr weiter geholfen. Heute haben wir die Klausur zurück bekommen. Wir arbeiten in der Schule mit einem Computer algebra System. Eigentlich sollten wir nur die Gleichung in Abhängigkeit von k auflösen. Ich dachte nicht, dass so etwas einfaches verlangt war. Aber trotzdem hat mich interessiert, wie ich solche Gleichungen von Hand lösen könnte.
Weitere Probleme, die mich noch interessieren haben leider wenig mit Schulmathemathik zu tun. Zum Beispiel wollte ich mal wissen, wie die e - Funktion und die Sinusfunktion zusammenhängen. Über die Taylorreihenentwicklung müsste man einen Beweis über die komplexen Zahlen führen können.
Das zweite Problem handelt von der lösbarkeit von Gleichungen mit Gleichungen höher als 4. Grades. Also ohne allgemeine Lösungsformel oder Weg. Unser Computer Algebra S. löst die Gleichung x^30 = 1 mit 30 Lösungen. Und fast jede sieht so aus : e^2*pi*î/3 oder so. Ich wollte nur wissen, wie das e und das pi hier auftauchen können.
Also, ich wünsche euch auch noch schöne Weihnachten und danke nochmal.
Stefan |
Thomas Preu
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Dezember, 2000 - 21:17: |
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Ich weis nicht inwiefern du mit komplexen Zahlen vertraut bist; Grundlage ist eine Erweiterung der reelen Zahlen: in R ist folgende Gleichung unlösbar x^2=-1. Man führt deshalb deshalb eine Zahl ein und nennt sie i, etwa so: (-1)^(1/2):=i (Wurzel aus (-1) ist definiert als i)
Zum ersten: e^(x*i)=cos(x) + i*sin(x); Es gibt noch einige andere ähnliche Relationen, mit solchen Sachen wie "Sinus hyperbolicus" (Der normale Sinus hat was mit dem Kreis zu tun, der hier ist so was ähnliches bei einer Hyperbel), die dann auch teilweise ohne das lästige i auskommen, was das ganze aber nicht unbedingt einfacher macht.
Zum zweiten: Hier spielt dieses i auch eine entscheidende Rolle; Man kann nämlich alle komplexen Zahlen in einer Ebene darstellen: Stell dir ein Koordinatensystem vor; dann nimmst du in x-Richtung die normale reele Zahlengerade und in y-Richtung die "imaginären Zahlen"(Zahlen, die Vielfache von i sind). Jede komplexe Zahl (x + y*i) kann nun als ein Punkt dieses Koordinatensystems aufgefast werden.
Als nächstes betrachtet man eine Gleichung der Form: x^n=r , wobei n e N (n Element der natürlichen Zahlen) und r e R+ (negative Zahlen gingen auch, dann wird das ganze einfach am Ursprung des Koordinatensystems gespiegelt - das verstehst du gleich). Es gibt nun den Fundamentalsatz der Algebra, der besagt dass jede Gleichung n-ten Grades auch n Lösungen hat für x e C (C heist komplexe Zahlen). Der Beweis muss furchtbar schwierig sein, ich habe ihn selbst noch nie gesehen. Man kann dann zeigen, dass alle diese Lösungen für x^n=r auf einem Kreis um den Ursprung des Koordinatensystems der komplexen Zahlen(man sagt auch Gauss-Ebene dazu; Gauss - der Typ vom 10-Mark-Schein) liegen, dessen Radius die n-te Wurzel aus r ist. Für r>0 ist mindestens eine Lösung reel, d.h. der komplex Anteil ist 0. Ausserdem hat jeder Lösungspunkt vom Nachbarn den gleichen Abstand.
Beispiel: x^3=1 hat folgende 3 Lösungen:
x1=1; x2=-(1/2) + sqrt(3)/2*i; x3=-(1/2) - sqrt(3)/2*i; (sqrt heist Quadratwurzel)
Probe: Wenn man komplexe Zahlen multipliziert, so ist das i wie eine Formvariable zu betrachten; x2^3=(-(1/2)+sqrt(3)/2*i)*(-(1/2)+sqrt(3)/2*i)*(-(1/2)+sqrt(3)/2*i)=
mit 2. binomische Formel
(-(1/2)+sqrt(3)/2*i)*(1/4-2*(1/2)*sqrt(3)/2*i+3/4*i^2)=
da i:=sqrt(-1) => i^2=-1=>
(-(1/2)+sqrt(3)/2*i)*(-(1/2)-sqrt(3)/2*i)=
mit 3. binomischer Formel
(1/4)-(3/4)*i^2=(1/4)+(3/4)=1
Probe passt.
Wenn du die 3 Lösungen in Koordinatenform anschaust gibt das (1,0);(-(1/2),sqrt(3)/2);(-(1/2),-sqrt(3)/2) und wenn du das in ein Koordinatensystem einzeichnest wirst du sehen, dass die drei Punkte auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius (3. Wurzel aus 1), also 1 liegen, und x1 von x2 genauso weit weg ist, wie x3 von x2.
Für diese komplexen Zahlen kann man auch schreiben(vgl: zu erstens): e^(k*pi*i/3) ,wobei k e {1,2,3}.
Allgemeine Lösung für x^n=r ,n e N und r e R+:
r^(1/n)*e^(k*pi*i/n) ,wobei k e {1,2,...,n}.
Leider kann ich dir keine Zeichnug schicken, aber probiers ruhig mal; Es mag alles jetzt auch ein bischen verwirrend sein, wenn du noch nie was von komplexen Zahlen gehört hast, aber wenn du einen guten Lehrer hast, frag den, der kann dir sicher helfen (,wenn er will und sich die Zeit dazu nimmt). |
Stefan Beck (Sandman27)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Dezember, 2000 - 13:21: |
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Vielen Dank für deie Hilfe, Thomas. Die Allgemeine Lösungsformel hat mich wirklich einen Schritt weiter gebracht. Ich kenne mich mit komplexen Zahlen eigentlich recht gut aus, denke ich mal. Da wir in der Schule gerade mit komplexen Fraktalen arbeiten. Und das alle Lösungen einer Gleichung auf der Gaus - Ebene den selben Abstand vom Ursprung haben, habe ich schon einmal in einem Buch gelesen. Und leider muss ich dir auch mitteilen, das mir der Fundamentalsatz der Algebra auch bekannt ist. Aber es waren naturlich auch viele Dinge in deinem Beitrag, die ich noch nicht gekannt habe. Kannst du mir, oder jemand anders, ein Buch empfehlen, indem der Beweis der Relation : e^(x*i) = cos (x) + i * sin (x) steht ?
frohes Fest
Stefan |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Dezember, 2000 - 15:48: |
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Hi Stefan,
Du findest zwei instruktive Herleitungen
der Eulerschen Relation
im Archiv unter dem Stichwort "Fernrohr" !
Viel Erfolg beim Studium wünscht Dir
H.R.Moser,megamath. |
Stefan Beck (Sandman27)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Dezember, 2000 - 14:28: |
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Vielen dank für den Hinweis. Ich schau's mir gleich mal an. |
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