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Michael (Bigb)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 17:32: | 
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Hallo Ihr da!
Ich habe da mal eine dringende Frage zu einer Hausaufgabe.Diese lautet so:
Zeige: Ist A,B,C,D ein Vierflach und S sein Schwerpunkt, so gilt Vektor As + Vektor Bs + Vektor Cs + Vektor Ds = 0 !!!!!!!
Danke schon mal im vorraus!!!!!!
Michael |
Markus
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 20:27: |
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Zeichne Dir doch einfech ein Vierflach (Parallelogramm)auf und zeichne mit verschiedenen Farben die Vektoren As und Bs und (As + Bs) ein.
Du wirst merken,dass As + Bs den Vektor AD ergibt.
Addierst Du Cs zu Ds , also Cs + Ds kommt genau derselbe Vektor, bloss mit einem negativen Vorzeichen heraus . Addierst du die beiden ,kommt logischerweise NULL heraus. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Dezember, 2000 - 21:28: |
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Hi Michael, Hi Markus
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Warnung vor Scheinbeweisen !
Beim Beweis dieser Behauptung muss selbstredend
die Tatsache zum Zuge kommen, dass S der Schwerpunkt
der Figur ist
Ansonsten würde der Satz ja für einen beliebigen Punkt
S gelten.
Im folgenden stellen kleine lateinische Buchstaben Vektoren dar,
dasselbe gilt für die Buchstabenpaare AS, BS... OA,OB..
s = OS ist z.B. der Ortsvektor des Schwerpunktes.
Vorbereitung:
Der Schwerpunkt S eines Tetraeders ABCD lässt sich "bekanntlich"
aus den vier Ortsvektoren der Ecken
a=OA,b=OB,c=OC,d=OD als arithmetisches Mittel so darstellen:
s =OS = ¼ * (a + b + c + d)
Für ein Dreieck ABC gilt Analoges : OS = 1/3 (a + b + c )
Nun bilden wir die in Frage stehenden Vektoren
AS, BS, CS, DS.
AS = AO + OS = - a + s ; BS = BO + OS = -b + s ;
CS = CO + OS = - c + s ; DS = DO + OS = - d + s
Nun addieren wir diese vier Vektorbeziehungen und erhalten die
in Frage stehende Summe, die gleich dem Nullvektor ist:
AS +BS + CS + DS = -a-b-c-d + 4 * ¼ (a+b+c+d) = 0
Der Satz mit Beweis ist also doch nicht ganz trivial.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath, |
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