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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 08:07: | 
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Gegeben sei ein Dreieck mit den Koordinaten A(o/4)
B(7/0), C(3/0).
Berechnen sie hier nun die Koordinate von W(W ist der Schnittpunkt zwischen der Seite AB und der Winkelhalbierenden.
Wie macht man sowas?????????? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Dezember, 2000 - 17:01: |
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Hi Anonym
Vorbemerkungen:
Ich nehme an, es sei der Schnittpunkt S der Halbierenden w
des Innenwinkels gamma bei C mit der Seite AB
zu ermitteln.
Im folgenden verstehen wir unter dem Richtungswinkel einer
Geraden ihren Winkel mit der positiven x-Achse.
Der Tangens des Richtungswinkels ist dann gerade die Steigung
der betreffenden Geraden.
So weit das WARM UP !
Die Gerade w hat als Winkelhalbierende den Richtungswinkel
gamma / 2 , ihre Steigung sei m .= tang (gamma/2)
Die Seite CA hat den Richtungswinkel gamma., die Steigung
dieser Geraden ist ,wie man aus den Koordinaten der
Ecken ablies t - 4 / 3 ( stelle eine Skizze her! )
Es gilt die Beziehung
(siehe Doppelwinkelformel des Tangens aus der Goniometrie)
tan( gamma ) = 2 * tan (gamma / 2 ) / [1 - {tan (gamma / 2 )}^2],
Werte eingesetzt
- 4 / 3 = 2 * m / [1 - m^2],
daraus entspringt die quadratische Gleichung für m:
2 m ^ 2 -3 m - 2 = 0 ; es ist nur die Lösung m = 2 tauglich.
Mit der Steigung m = 2 für die Winkelhalbierende w
erhalten wir deren Gleichung:
y = 2 ( x - 3) NB: w geht durch die Ecke C(3/0).
Diese Gerade schneiden wir mit der Geraden AB ,
deren Gleichung 4x + 7y = 28 lautet.
Wir erhalten den Schnittpunkt
S: xS = 35 / 9 , yS = 16 / 9.
Wir bestätigen leicht den Satz aus der Elementargeometrie, dass
w die Seite AB in S nach dem Verhältnis der anliegenden Seiten teilt.
Es ist ja CA = b = 5 und CB = a = 4
Also 35 / 28 = 5 : 4 , wie es sein muss.-
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
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