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Beitrag |
    
Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 18:55: | 
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Wie geht man denn an folgende Aufgabe ran?
Diskutieren Sie die Lissajoufigur
x(t) = cos(t) , y(t) = sin(3t)
Definitionsbereich, Nullstellen, Extremwerte
und Wendepunkte.
Bitte helft mir!
Peter |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 14:18: |
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Hi Peter,
Deine Lissajoufigur befindet sich als Ganzes im Quadrat
-1< = x < =1, - 1 < = y < = 1.
Es genügt, die Kurve für das Parameterintervall
0 < = t < = Pi zu untersuchen ,
Durch eine Spiegelung an der x-Achse erhalten wir dann
die ganze Lissajoufigur.
Das ganze Gebilde ist ausserdem zur y-Achse symmetrisch.
So viel prima vista !
Zu den einzelnen Fragen
a) Für t sind alle reellen Zahlen zugelassen.
Als Grundintervall genügt das t-Intervall
[0,2Pi].
Wegen der Periodizität der gegebenen trigonometrischen
Funktionen wird für alle anschliessenden und vorausgehenden
t-Intervalle der Längen 2Pi die Figur je genau einmal durchlaufen.
b) Nullstellen
Wir setzen y(t) = 0 und erhalten die t-Werte:
t1 = 0 , daraus x1 = 0
t2 = Pi / 3 , daraus x2 = ½
t3 = 2Pi / 3 , daraus x3 = - ½
t4 = Pi , daraus x4 = - 1
c) Extrema
Wir benützen die Ableitung y° von y(t) nach t :
y° = 3 cos (3t), (gelesen "y-Punkt").
und die Ableitung x° von x nach t:
x° = - sin (t).
Die Ableitung y' von y(x) nach x ergibt sich als Quotient
y'(x) = y°(t) / x°(t) = - 3 * cos(3t) / sin(t)
y' ist null ,wenn cos(3t) null ist ,also für:t 5 = Pi/6 ,
somit für x5 = wurzel(3) / 2
und für t6 = Pi /2
somit für x6 = 0, ferner für t7 = 5 Pi / 6 , d.h. für
x7 = - wurzel(3) / 2
Bei x5 und x 7 liegen Maxima, bei x6 ein Minimum vor
(anschaulich leicht einzusehen!)
d) Wendepunkte
Wir berechnen die zweite Ableitung y''(x) nach x.
mit der Quotientenregel:
y'' = d y' / dx = d / dt {( y° / x° ) }* dt / dx =
= [ x° * y°° - y° * x°° ] / [( x° ) ^ 2] * (1/x°) =
= [ x° * y°° - y°° * x°° ] / [( x° )^3 ]
x°° ist die zweite Ableitung von x(t) nach t
y°° ist die zweite Ableitung von y(t) nach t
N.B. dt / dx ist zu dx / dt = x° reziprok, also = 1 / x°
Für unser Beispiel kommt:
y''(x) = [-sint * (-9 sin 3t ) - 3 cos 3t * (-cos t) ] / [( - sin t ) ^3] =
[ 9 sint * sin 3t + 3 cos 3t cost ] / (sin t ) ^3
Setzen wir y'' null, so erhalten wir die goniometrische Gleichung
tan(t)* tan(3t) = 1/3
Eine Näherungslösung ist t ~ 0.97277, dies führt auf den x-Wert
des einen Wendepunktes
x8 = 0.5630 , ein weiterer Wendepunkt liegt dazu symmetrisch:
x9 = - 0.5630.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 15:59: |
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Hallo,
Kleiner Tippfehler bei den Nullstellen:
für t1=0 ist x1=1
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Gruß, Fern
Hier noch ein Bild:
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Peter v.H. (Logitwo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 11:27: |
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Vielen DAnk ihr beiden.
Jetzt bin ich prima auf mein morgiges
Mathetestat vorbereitet. Kann eigentlich
nix mehr schief gehen.
PS.: Zur Belohnung!!!
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