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Beitrag |
    
uanda
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 22:15: | 
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Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
sei A eine Matrix
beweise: Rang(A)=Spaltenrang(A)=Zeilenrang(A) |
Kai
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 18:55: |
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Tipp: Zeige es in 2 Schritten:
1) Spaltenrang ³ Zeilenrang
2) und ungekehrt. |
uanda
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 17:02: |
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das geht aber nicht, denn Spaltenrang immer = Zeilenrang (zu 1) dein ansatz hilft mir leider nicht viel... |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 17:55: |
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Hi uanda, so gut kenne ich mich mit diesen Formalrechnungen nicht aus, aber das, was Kai gesagt hat, steht nicht im Widerspruch zu deiner letzten Aussage:
wenn du noch 2) Spaltenrang £ Zeilenrang
gezeigt hast, dann muss doch genau Spaltenrang = Zeilenrang
zutreffen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Dezember, 2000 - 22:04: |
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Hi Uanda,
Kai und Bernd sind mit ihren Voten durchaus auf dem
richtigen Weg !
Ich versuche , einen landesüblichen Beweis dieses berühmten
Satzes zu skizzieren .
Gegeben sei eine (m,n)-Matrix A.
r sei die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren,
s die Maximalzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren
r ist dann der Zeilenrang, s der Spaltenrang
Es ist nachzuweisen, dass stets r = s gilt.
Der Beweis wird in zwei Schritten geführt.
1.Teil.
Es gilt der Hilfssatz:
Wenn in der Matrix A die letzte Zeile eine Linearkombination der
vorhergehenden Zeilen ist, so stimmen die Spaltenränge der Matrix A
und der Matrix A*, welche aus A durch weglassen der genannten
Zeile entsteht, überein:
Spaltenrang A* = Spaltenrang A
Der Beweis dieses Hilfssatzes wird weggelassen
2.Teil:
Als Folgerung aus dem Hilfssatz schliessen wir:
r < = s............................................................................( UI )
Jetzt gehen wir zur transponierten Matrix A' über, in dem wir Zeilen
und Kolonnen in ihren Rollen vertauschen
s ist Zeilenrang, r Kolonnenrang von A'; nach dem Hilfssatz gilt:
s < = r.............................................................................(U II)
aus (U I) und (UII) folgt sofort
r = s qed
Gruss an alle
H.R.Moser,megamath. |
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