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Blues Brothers
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 14:31: | 
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Bestimmen Sie die Extremwerte von :
f : (x,y) ® Z= 5-x-3y unter der NB:
g(x,y)=x^2+xy+y^2+3x+9y=0
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zx= -1
zy= -3
gx= 2x+y+3
gy= x+2y+9
l=l ...
x+2y+9=3(2x+y+3)...
Wir haben nun folgende Loesungen anzubieten:
y=-5x ...einsetzen in g(x,y)? liefert:
x1=0 , einsetzen in g(x,y)? liefert:
y1=0 und y2=-9
x2=2 , einsetzen in g(x,y)? liefert:
y3=-1 und y4=-10
Sind wir auf dem richtigen Wege?Gibt es auch 4l und 4 Z-Werte?
Blues Brothers |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 18:54: |
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Hallo Blues Brothers,
Wie im vorigen Beispiel ist auch hier f(x,y) eine Ebene und g(x,y) eine Ellipse.
Die Niveaulinien also Gerade.
Die Ellipse kann also nur 2 Tangenten parallel zu den Niveaulinien haben.
Ich glaube der Fehler liegt in der Auflösung der Simultangleichungen.
Diese sind:
(Ich schreibe k anstatt l weil dies leichter zu tippen ist)
-1=k(2x+y+3)
-3=k(x+2y+9)
x²+xy+y²+3x+9y=0
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Dieses Gleichungssystem hat die Lösungen:
x=0, y=0, k=-1/3
und
x=2, y=-10, k=1/3
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Die anderen Werte von euch sind keine Lösung, denn sie führen (in alle 3 Gleichungen eingesetzt) zu Widersprüchen. Wo genau der Fehler liegt, kann ich auch nicht sagen.
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Es gibt also 2 kritische Punkte für die wir die z-Werte errechnen:
z(0;0)= 5
z(2;-10)= 33
Im Punkte (0;0;5) liegt ein Minimum
Im Punkte (2;-10;33) liegt ein Maximum.
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Blues Brothers
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 16:44: |
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Besten Dank, jedoch erhält man für alle Punkte eine wahre Aussage, wenn man diese in die Nebenbedingung g(x,y) einsetzt.Bei der Bildung der Diskriminante erhält man als Ergbnis 0, sodass keine Aussage über Minima oder Maxima möglich ist.Werden uns noch genauer darüber informieren.Frage nebenbei, wie bist Du denn zu Deinem Lambda gekommen?
Die Blues Brothers. |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 17:51: |
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Hallo Blues Brothers,
Was bezeichnet ihr denn als "Diskriminante" ?
Man kann ganz klar eine Aussage über Min und Max machen.
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Nochmal:
Wir haben 3 Gleichungen:
-1=k(2x+y+3)......[1]
-3=k(x+2y+9)........[2]
x²+xy+y²+3x+9y=0....[3]
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Eine Lösung {x,y,k} muss alle drei Gleichungen befriedigen.
Es genügt also nicht, nur in [3] einzusetzen.
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Zur Berechnung von k (=euer l):
Wir haben ja 4 Lösungspaare für x und y erhalten:
x=0, y=0
x=0, y=-9
x=2, y=-1
x=2, y=-10
Dies setzen wir nun nacheinander in [1] und [2] ein:
x=0, y=0
[1]: -1=k(0+0+3) Þ k=-1/3
[2]: -3=k(0+0+9) Þ k=-1/3
x=0, y=-9
[1]: -1=k(0-9+3) Þ k=1/6
[2]: -3=k(0-18+9) Þ k=1/3 Widerspruch!
x=2 y=-1
[1]: -1=k(4-6+3) Þ k=-1/6
[2]: -3=k(2-2+9) Þ k=-1/3 Widerspruch!
x=2, y=-10
[1]: -1=k(4-10+3) Þ k=1/3
[2]: -3=k(2-20+9) Þ k=1/3
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Also nur die Paare
x=0, y=0
x=2, y=-10
können widerspruchslos in alle 3 (blauen) Gleichungen eingesetzt werden!
Sie sind daher die einzigen Lösungen.
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Die Werte von k (=l) selbst sind bei der Lagrangeschen Methode uninteressant.
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Blues Brothers
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Dezember, 2000 - 18:26: |
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Tschuldigung Du hast ja Recht.Wollten unseren Fehler gerade korrigieren.Die Frage bezog sich auf folgende Aufgabe:Extremwerte bei gegebeber HB und NB.Die Diskriminante ergab D=+/-36 und nicht 0 wie oben geschrieben, sodass tatsächlich ein Minima und ein Maxima existiert.
Zu dem Thema Diskriminante:Sind (x0,y0,k0)bestimmt, so liegt ein relatives Maximum vor, falls D<0 und ein relatives Minimum, falls D>0 ist.
D=Fxx*(gy)^2-2*Fxy*gx*gy+Fyy*(gx)^2 (Diskriminante)
Für D=0 ist keine Aussage möglich.
Gruss Blues Brothers |
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