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Schlumpf
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 18:41: | 
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Hallo ihr Mathesuperhirne!
Ein Behälter, der bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt ist, kann durch eins von zwei Rohren in einer bestimmten Zeit gefüllt und durch das zweite in einer anderen Zeit ausgeleert werden. Läßt man beide Rohre 12 Stunden offen, so wird der Behälter ausgeleert. Verkleinert man die Rohre so, dass das eine zum Füllen des leeren, das andere zum Leeren des vollen Behälters je eine Stunde mehr braucht, so wird bei gleichzeitiger Öffnung beider Rohre der Behälter in 15 3/4 Stunden leer.
In welcher Zeit wird der leere Behälter durch das erste Rohr allein gefüllt, in welcher Zeit der volle Behälter durch das zweite allein geleert? |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 01:24: |
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Hi, Schlumpf
Zulauf: z Stunden, bis Behälter von leer auf voll ist <=> Bruchteil von 1/z Behälter in 1 Stunde
Ablauf: a Stunden, bis Behälter von voll auf leer ist <=> Bruchteil von 1/a Behälter in 1 Stunde
Es kommen nur a,z > 0 in Betracht, da Zeitrichtung nur vorwärts.
Vorgang in 12 Stunden:
1/2 (Behälter) + 1/z (Behälter) *12 = 1/a (Behälter) *12
Gleichung I: 1/2 + 12/z = 12/a
********************************
Verengter Zulauf: z+1 Stunden, bis Behälter von leer auf voll ist <=> 1/(z+1) Behälter in 1 Stunde
Verengter Ablauf: a+1 Stunden, bis Behälter von voll auf leer ist <=> 1/(a+1) Behälter in 1 Stunde
Vorgang bei Verengung in 15.75 Stunden:
1/2 (Behälter) + 1/(z+1) (Behälter) *15.75 = 1/(a+1) (Behälter) *15.75
Gleichung II: 1/2 + 15.75/(z+1) = 15.75/(a+1)
********************************************
Gleichung I: 1z/(2z) + 24/(2z) = 12/a
(z+24)/(2z) = 12/a
a = 24z/(z+24), setze in Gleichung II ein:
1/2 + 15.75/(z+1) = 15.75/(24z/(z+24)+1)
1/2 + 15.75/(z+1) = 15.75/((24z+z+24)/(z+24))
1/2 + 15.75/(z+1) = 15.75*(z+24)/(25z+24) | *(z+1)*(25z+24)
(z+1)(25z+24)/2 + 15.75(25z+24) = 15.75(z+24)(z+1)
(25z²+49z+24)/2 + 15.75(25z+24) = 15.75(z²+25z+24) | - 15.75*(25z+24)
(25z²+49z+24)/2 = 15.75z² | *4
50z² + 98z + 48 = 63 z²
13z² - 98z - 48 = 0 | :13
z² - 98z/13 - 48/13 = 0
z=8 oder z<0, setze z=8 in Gleichung a = 24z/(z+24) ein:
a=24*8/32=6
Also würde der leere Behälter in 8 Stunden durch den Zulauf allein gefüllt, der volle in 6 Stunden durch den Ablauf allein geleert. |
Schlumpf
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 20:36: |
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He B. Bernd hast es ja voll drauf! Danke auch für die Erläuterungen. |
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