| Autor |
Beitrag |
    
Blues Brothers
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 17:59: | 
|
Hallo Leute,
haben folgendes "Schmankerl" für euch!
Bestimmen Sie die Extremwerte von:
f x,y); z=x+y unter der Nebenbedingung:
g(x,y)= x^2 + 2xy + 4y^2 - 3x + 6y = 0
Dringend Hilfe erforderlich, nur noch wenig Zeit!
Danke, die Blues Brothers. |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 22:44: |
|
Hallo Blues Brothers,
z=x+y
NB: g(x,y)=x²+2xy+4y²-3x+6y=0
Gesucht: Extremwerte.
==================
Dies löst man mit der Methode des Lagrange'schen Multiplikators.
Mit dem Ansatz: Ñz(x,y) = l*Ñg(x,y)
l ist der Lagrange'sche Multiplikator.
Wir bilden zunächst die partiellen Ableitungen:
zx=1
zy=1
gx=2x+2y-3
gy=2x+8y+6
Damit wird unser Ansatz (mit der NB):
1=l(2x+2y-3)
1=l(2x+8y+6)
0=x²+2xy+4y²-3x+6y
===================
Dies sind 3 Bestimmungsgleichungen für x,y,l
Ergebnis:
x1=0, y1=-3/2, l=1/6
und
x2=6, y2=-3/2, l=-1/6
===============
Für diese beiden kritischen Punkte berechnen wir nun z:
z(x1,y1)=z1=-3/2......also ein Minimum
z(x2,y2)=z2=9/2.......also ein Maximum
======================================== |
Blues Brothers
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 13:23: |
|
Hallo Fern,vielen Dank für die Hilfe.
Abschließend zu dieser Aufgabe eine Frage:
Kann man Minima und Maxima nur durch die Bildung der Diskriminante bestimmen, oder erhält man diese durch "scharfes hinsehen"?
z.B. negativer z-Wert führt zu Minimum, positiver z-Wert zu Maximum?
Die Blues Brothers. |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 17:15: |
|
Hallo Blues Brothers,
Wir haben zwei Extremwerte erhalten: also ist der kleinere das Minimum und der größere das Maximum! (Negativer oder positiver Wert spielt keine Rolle).
Die Funktion f(x,y) =z(x,y) ist im Allgemeinen eine Fläche, in unserem Fall eine Ebene.
g(x,y)=0 stellt ein Kurve dar, in unserem Fall eine Ellipse.
Betrachtet werden nun jene Werte von f(x,y), die genau über der Ellipse liegen. Man kann sich einen elliptischen Zylinder über g(x,y) vorstellen, der die Ebene f(x,y) schneidet. Die extremen z-Werte dieser Schnittkurve (wieder eine Ellipse) sind gesucht.
Diese Extremwerte liegen dort, wo die Niveaukurven von f(x,y) Tangenten an g(x,y) sind, also dort wo die Gradienten Ñf und Ñg gleiche Richtung haben. Darauf beruht die Lagrange-Methode!
=============
In meiner Skizze sind die roten Geraden Niveaulinien der Ebene f(x,y) (Falllinien laufen von rechts oben nach links unten).
Niveaulinien: f(x,y)=k
Die blaue Ellipse ist die Kurve g(x,y) (und gleichzeitig die Schnittellipse). Die beiden schwarzen Tangenten sind die Niveaulinien mit Parameter k=9/2 (rechts im Bild) und k=-3/2 (links).
========================
Ich hoffe, dass es mit dem Bild klappt, was in diesem Board nicht immer der Fall ist:
 |
Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 17:18: |
|
Hurra, es hat mit dem Bild geklappt!
 |
|
