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Beitrag |
    
Peter
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 14:51: | 
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Wie muss ich das Dreieck Konstruiern?
Ich komme mit den sb nicht klar.
Was heißt das?
Hat jemand eine Konstruktionsbeschreibung oder gar eine Zeichnung für mich?
Aufgabe:
In einem Dreieck sind bekannt:
a= 6,7 cm, sb= 7,0 cm und gamma= 56°
Berechne die fehlenden Stücke und den Flächeninhalt |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 20:12: |
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Hi Peter,
Im folgenden führe ich Dir die trigonometrische Berechnung
des gesuchten Dreiecks vor.
Wir stellen wie üblich eine Analysisfigur der Situation her.
In Dreieck ABC sind gegeben :
-die Seite a = BC
-die Schwerlinie (Mittenlinie) sb ; diese verbindet die Ecke
B mit dem Mittelpunkt N der Seite CA
-der Winkel Gamma
Idee : Das Hilfsdreieck BCN lässt sich eindeutig konstruieren
und berechnen und zwar nach dem Bestimmungsfall SSW
(Seite/Seite/Winkel)
Der gegebene Winkel gamma liegt der grösseren Seite
sb (sb > a ) gegenüber, was für die Eindeutigkeit erforderlich ist.
Aus dem Hilfsdreieck BCN lässt sich das gesuchte Dreieck
ABC sukzessive aufbauen.
Rechnerisch gehen wir in sechs Schritten vor:
1. Schritt
Berechnung des Winkels delta im Dreieck BCN bei der
Ecke N mit dem Sinussatz:
a : sb = sin (delta) : sin(gamma) , daraus
sin (delta) = a* sin (gamma) / sb ~ 0.7935,
daraus delta ~ 52.51°
Mit dem Winkelsummensatz berechnen wir im Dreieck BCN
den Winkel epsilon bei der Ecke B : epsilon ~ 71,49°
Später brauchen wir noch den Nebenwinkel delta ' von delta
bei der Ecke N
delta ' ~127.49°
2. Schritt
Mit dem Sinussatz berechnen wir sb:
a : sb = sin (delta) : sin (gamma)) , daraus
sb = a*sin (gamma) / sin(delta ) = 7.000 (!)
3. Schritt
Mit dem Sinussatz berechnen wir die Seite b
a : (b/2) = sin (delta) : sin (epsilon), daraus
b/2 = a* sin (epsilon) / sin (delta) = 8.00, damit b = 16
4. Schritt
Mit dem Kosinussatz berechnen wir die Seite c:
c ^ 2 = (b/2)^2 + sb^2 - 2 * (b/2) * sb * cos( delta')
= b^2 / 4 + sb^2 + b * sb * cos ( delta)
Beachte: da die Winkel delta und delta ' supplementär sind,
sind ihre Kosinuswerte entgegengesetzt gleich.
Wir bekommen:
c^2 ~ 181.1658 , also c ~ 13.46
5.Schritt
Mit dem Sinussatz berechnen wir alpha:
a : c = sin ( alpha) : sin (gamma) , daraus:
sin (alpha ) = a* sin (gamma) / c = 0.4127 , also alpha ~24,37°
Mit dem Winkelsummensatz berechnen wir schliesslich
beta ~ 99.63°
6.Schritt
Mit dem Flächensatz berechnen wir den Flächeninhalt F des
Dreiecks ABC:
F = ½ * a* b * sin (gamma) ~ 44.44
Damit sind alle verlangten Stücke berechnet.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Peter
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Dezember, 2000 - 16:39: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
vielen Dank für Deine hervorragende Erklärung.
Hab sie sehr gut verstanden.
Peter |
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