| Autor |
Beitrag |
    
Jones
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 09:26: | 
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Hat jemand ne Ahnung wie die Formel:
1+x+x^2+...+x^(n-1)=(x^n-1)/(x-1)
hergeleitet wurde?
Brauche dringend ne Herleitung oder erklärung.
Danke |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 11:58: |
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Hallo Jones, Herleitung durch Überlegung wie im Beitrag vom Sonntag, den 03. Dezember, 2000 - 01:39, und zwar, was zwischen den Sternen steht
Beweis der Gültigkeit auch durch vollständige Induktion:
Ind-Anfang: richtig für n=1:
1=(x1-1)/(x-1)
Ind-Schritt:
gehe davon aus, dass deine oben angegebene Formel (für n) richtig ist, und forme sie so um, dass die Formel für n+1 da steht.
1+x+x^2+...+x^(n-1)=(x^n-1)/(x-1) |+xn
1+x+x^2+...+x^(n-1)+xn = (xn-1)/(x-1)+xn*(x-1)/(x-1)
1+x+x^2+...+x^(n-1)+xn = (xn-1 + xn*(x-1))/(x-1)
1+x+x^2+...+xn = (xn -1 + xn+1 -xn)/(x-1)
1+x+x^2+...+xn+1 -1 = ( xn+1 -1)/(x-1)
auf der linken Seite steht klar erkennbar der Term der vorigen linken Seite mit n+1 statt n, auf der rechten Seite steht
(xn+1-1)/(x-1), was ebenfalls der vorige Term der rechten Seite, mit n+1 statt n , ist |
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