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Beitrag |
    
Christoph
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 18:55: | 
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Hallo !!! Wir sind Schüler einer 11. Klasse und
suchen eine Möglichkeit Seitenhalbierende und
Höhengeraden mathematisch, OHNE Zeichnung zu berechnen.
Beispielaufgabe:
"A, B, und C sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Zeige rechnerisch, dass sich die Höhengeraden in einem Punkt H schneiden. Bestimme diese Koordinaten."
Wie wir die Kordinaten bestimmen wissen wir doch wie bekommen wir die position der Höhengeraden ohne Zeichnung.
P.s.: Weiss vielleicht einer von euch wie wir einen dritten Eckpunkt bestimmen wenn wir schon 2 (A und B) haben und auch der Schnittpunkt H bekannt ist ???
Bitte helft uns, die Arbeit rückt näher.
Fabian, Sebastian, Danesh und Christoph |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Dezember, 2000 - 19:27: |
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Hallo Christoph und die anderen,
eine Höhe steht bekanntlich senkrecht auf einer Seite des Dreiecks und geht durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks.
Die Geradengleichung einer Höhe kann man so bestimmen (am Beispiel der Höhe auf AB)
1. bestimme die Gleichung der Geraden AB
(entweder in der Form mx+b oder vektoriell als A+l(B-A).
2. Bestimme die Steigung einer zu AB senkrechten Geraden, entweder als -1/m oder durch Angabe eines orthogonalen Richtungsvektors).
3. Bestimme die Gleichung der zu AB senkrechten Geraden, die durch C geht (Punkt-Richtungs-Form oder als C+lv, dabei ist der v der zuvor gefundene Richtungsvektor).
Wenn man das nacheinander für alle drei Höhen macht, erhält man drei Geradengleichungen.
Bestimme dann den Schnittpunkt von zweien. Und zeige (durch Einsetzen), daß der Schnittpunkt auch auf der dritten Geraden liegt.
Soweit im Prinzip. Wenn ihr Fragen habt, dann fragt bitte.
Gruß
Matroid |
Christoph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 18:05: |
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Hi nochmal !!! Danke das du so schnell reagiert hast aber kann man die ganze schose auch ohne Vektorgleichung ausrechnen, da wir diese noch nicht hatten !!!
1. Frage: Was ist jetzt genau ORTHOGONAL ??? Jeder sagt was anderes ... *G*
2. Frage: Wie schauts denn aus wenn ich in einem Dreieck zwei Punkte (A und B) kenne, und denn Höhengeradenschnittpunkt H ??? Wie errechne ich dann C ???
Danke schonmal im vorraus, die anderen und Christoph |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 13. Dezember, 2000 - 19:56: |
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Ja, klar geht es ohne Vektoren. Ich hatte ja versucht beide Möglichkeiten anzudeuten.
Die Gerade durch A =(a1,a2) und B =(b1,b2) kann mit der Zwei-Punkte-Form bestimmt werden.
(y-a2) * (b1-a1) = (x-a1) * (b2-a2)
Die Geradengleichung ist von der Form y = mx+b.
Eine dazu senkrechte Gerade hat die Steigung -1/m.
Das m errechnet sich als (b2-a2)/(b1-a1)
Achtung: wenn "zufällig" b1=a1 ist, dann verläuft die Höhe parallel zur y-Achse, also AB parallel zur x-Achse. Diesen Fall muß man dann gesondert betrachten. Aber es gibt ja Kongruenzsätze für Dreiecke. Man kann ein zu ABC kongruentes Dreieck immer so in das Koordinatensystem legen, daß keine Dreiecksseite parallel zu einer Achse ist. Dem Nachweis des gemeinsamen Höhenschnittpunkts schadet das gar nicht.
Die Gerade durch C =(c1,c2) und mit Steigung -1/m hat die Gleichung (Punkt-Steigungs-Form):
y-c2 = -1/m * (x-c1)
Man kann das m auch wie oben durch (b2-a2)/(b1-a1) ausdrücken.
Dann hat man:
y-c2 = -(b1-a1)/(b2-a2) * (x-c1)
Wenn man das gleiche für die Dreiecksseite BC und den Gegenpunkt A macht, dann erhält man als Gleichung dieser Höhe:
y-a2 = -(c1-b1)/(c2-b2) * (x-a1)
Also eine ganz analoge Gleichung. Eigentlich sind nur die Buchstaben abc untereinander ausgetauscht.
Die dritte Höhe (auf CA) ist:
y-b2 = -(a1-c1)/(a2-c2) * (x-b1)
Wenn man sich echt Mühe gibt kann man den Schnittpunkt der Geraden berechnen. Das ergibt aber einen länglichen Ausdruck aus ai,bi und ci.
Aber ihr wolltet es ja berechnen, nicht wahr.
Mit gegebenen Punktkoordinaten für A,B und C ist es auch viel einfacher.
Nur zum allgemeinen Beweis, daß die Höhen sich in einem Punkt schneiden, ist ein geometrischer Beweis einfacher und überzeugender.
Übrigens: "orthogonal" ist "senkrecht auf"
Zum zweiten Teil der Aufgabe: Mit gegebenen Punkte
A,B und S kann man die Gleichungen für ha (durch A und S) sowie hb (durch B und S).
Diese beiden Höhengeraden stehen senkrecht auf den Seiten a und b.
Also bestimme man die zu ha senkrechte Gerade durch B und die zu hb senkrechten Geraden durch A. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist C.
Gruß
Matroid |
Christoph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Dezember, 2000 - 17:39: |
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Danke Matriod !!!
Die Mathearbeit heute war viel einfacher mit deiner Hilfe !!!
CyA Christoph |
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