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Beitrag |
    
sssjs assd (Phi)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 21:48: | 
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Hier ist eine Aufgabe
a(n)=3+(1/n)
a)Ab welcher Nummer befinden sich die Glieder von (an) in U=-1/10000
U heisst umgebung
b) Zeige a ungleich 3.2
Zeigt mir bitte wie man so etwas allgemein löst: also wie man beweist das eine Folge konvergiert, monoton und wie man Schranken setzt..... wäre sehr sehr sehr dankbar (hoffentlich habe ich nicht zuviel verlangt) |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 22:26: |
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Hi F,
a) Der Grenzwert ist für n->¥ gleich 3. Ich verstehe die Aufgabe so, daß ein n0 bestimmt werden soll, so daß für alle n>=n0 gilt |an-3|<1/10000.
Warum steht bei Dir -1/10000. Das macht keine Sinn. Der Abstand von |an-3| zu einer Schranke e ist immer positiv, eben weil es ein Abstand ist. Ich mach mal mit +1/10000 weiter und hoffe, daß das gemeint ist.
Also die Betragsstriche der Ungleichung |an-3|<1/10000 kann man weglassen, denn an-3 = 1/n und das ist immer positiv.
Bestimme also das erste n0, mit 1/n0<1/10000. Es ist n0=10001. Für alle n>=n0 ist der von an zu 3 kleiner die Schranke 1/10000. Und nach dem gleichen Prinzip kann man das auch für jede andere beliebige gegebene Schranke zeigen.
b) Zeige, daß der Grenzwert a nicht 3.2 ist:
Wenn er nämlich 3.2 wäre, dann gäbe für jedes beliebige e>0 ein n0,
so daß für alle n>=n0 gilt |an-3.2|<e.
Nun ist |an-3.2| = |3+1/n-3.2|=|-0.2+1/n|.
Für n>5 ist der Ausdruck in den Betragsstrichen negativ. Also dann ist |-0.2+1/n| = 0.2-1/n.
Wähle ich nun e=1/10, dann gibt es kein n0, so daß für alle n>=n0 gilt 0.2-1/n < 1/10. Denn das wäre gleichbedeutend mit 1/n>0.1 oder n<10. Die Abstandbedingung gilt also nur für einige n, nicht aber ab einem bestimmten n0 für alle n, die größer gleich n0 sind. Der Grenzwert ist nicht 3.2
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 22:30: |
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In a war eine bestimmte Schranke gegeben. Der Beweis des Grenzwertes erfordert die Existenz eines n0 für alle Schranken e zu geben. Für alle ist gleichbedeutend mit jedes beliebige. Zum allgemeinen Beweis nehme ich mir also ein beliebiges e und gebe eine Formel an für das n0.
Nämlich 1/n < e für alle n>n0=[1/e]+1. Die Klammern [...] bedeuten hier "größte ganze Zahl kleiner gleich". |
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