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Beitrag |
    
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 11:35: | 
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Hi! hier noch ein weiteres Thema was in meiner Klausur morgen vorkommen wird!
Beschreibe die folgenden ebenen Abbildungen durch eine Matrix.
a) Spiegelung an der Geraden y = -x
b) Spiegelung an der Geraden y = 2x
c) 270°-Drehung um den Ursprung
d) Projektion in Richtung des Vektors (1/-1) auf die x-Achse
e) Projektion parallel zur y-Achse auf die Gerade y = x
Ich möchte gerne wissen, wie ich allgemein vorgehen muss, um auf die Abbildungsmatrix zu kommen.
danke, und bitte schnell =)
-maddes |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 13:13: |
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okay, und ich wieder.. =)
also, ich habe jetzt mal für a) und für d) etwas ausgerechnet..
a) hier habe ich den "Trick" mit den Einheitsvektoren angewendet...
p' = x * e'1 + y * e'2 + z * e'3
meine Matrix hier lautet
A =
( 0 -1)
(-1 0)
zu d)
hier habe ich folgendes gemacht..
y = x
Projektionsstrahl => g:x = (x/y) + k * (-1/1)
den Strahl habe ich oben in die Gleichung y=x eingesetzt
k-x = y+k
k = (x - y)/2
dann K in g..
ich komme auf
x' = 1/2x + 1/2y
y' = 1/2x + 1/2y
ist das RICHTIG??????? irgendwie sieht mir das zu symetrisch aus... mhh..
well bitte helft mir unbedingt weiter!
-maddes |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 13:58: |
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Hallo maddes,
Allgemeingilt:
Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Abbildungen der Basisvektoren!
(Unter Basisvektoren verstehe ich hier die normierten Hauptbasisvektoren, mit der deutschen Terminologie stehe ich leider etwas auf Kriegsfuß).
Jeden falls für den zweidimensionalen Raum:
ex = (1;0)
ey = (0;1)
============================
Unsere Beispiele:
a) Spiegelung an y=-x
Mach dir eine Skizze:
Aus ex wird e'x = (0;-1)
aus ey wird e'y = (1;0)
Also lautet die Abbildungsmatrix:
| 0 1|
|-1 0|
===============
c) Drehung um 270°
e'x = (0; -1)
e'y = (1; 0)
Matrix = | 0 1|
|-1 0|
==============
d) Projektion in Richtung (1; -1) auf x-Achse:
e'x = (1; 0)
e'y = (1; 0)
Matrix= |1 1|
|0 0|
=============
e) Projektion parallel y auf y=x:
e'x= (1; 1)
e'y= (0; 0)
Matrix= |1 0|
|1 0|
====================
Das Beipiel b) habe ich ausgelassen, weil man dazu etwas tüfteln muss. Du schaffst es aber jetzt sicher alleine. |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 17:02: |
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mh, immer noch nicht so ganz.. Mir ist es nach wie vor ein Rätsel, wie man ohne Skizze auf die Abbildungspunkte kommt. Oder stellt dies etwa ein unlösbares Rätsel dar?
Könntest du vielleicht auch schauen bei den räumlichen Abbildungen?
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/8630.html#POST33416
geht das dort mit den Einheitsvektoren auch? ich denke schon, nur mit dem Zeichnen wird's doch hier viel problematischer...
und noch ein kleines Problem. Was ist, wenn der Einheitsvektor nun auf der Spiegelachse liegt? dann wird er ja auf sich selbst abgebildet... ist das ein Problem? oder geht man damit dann auch "normal" um, und verfährt wie zuvor?
danke schon mal für eine schnelle Hilfe.. ich denke ohne dieses Board hier, wäre ich längst aufgeschmissen!
-maddes |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 20:10: |
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Hallo maddes,
Ich habe mir nun doch die Mühe gemacht und die Spiegelungsmatrix für die Gerade y=2x ermittelt:
Matrix= |-3/5 4/5|
| 4/5 3/5|
===================================
Man braucht dazu auch nicht unbedingt eine Zeichnung es geht auch analytisch.
Im R³ oder gar Rn dann nur analytisch.
Zu deiner Frage, wenn der Einheitsvektor auf der Spiegelachse ended: stur rechnen! Dann ist auch der Bildvektor im selben Punkt.
Im R³ das gleiche Prinzip.
Zum Beispiel Spiegelung in z-Richtung an der Ebene x+z=0
Einheitsvektoren:
(1;0;0)
(0;1;0)
(0;0;1)
Ihre Projektionspunkte auf die Ebene in Richtung z:
(1;0;-1)
(0;1;0)
(0;0;0)
Ihre Spiegelpunkte:
(1;0;-2)
(0;1;0)
(0;0;1)
Also die Matrix:
1 0 0
0 1 0
-2 0 -1
================================
Viel Glück zur Klausur! |
Fehler
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 20:12: |
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Tippfehler: der dritte Spiegelpunkt lautet:
(0;0;-1) |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 21:33: |
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Hallo Fern,
Vor kurzem habe ich während einer langweiligen Sitzung,
nach schlechter Angewohnheit, mir mit einer kleinen
mathematischen Arbeit die Zeit verkürzt.
Bevor ich die Notizen wegwerfe,möchte ich sie ins Board
stellen; sie könnten da und dort nützlich sein
Es handelt sich um die Abbildungsgleichungen einer
Spiegelung an einer Ursprungsgeraden g : y = m x.
Wie bekannt, stellt m den Tangens des Richtungswinkels
alpha von g dar.
Als Resultat der Abbildung ergeben sich für (p/q) als
Originalpunkt und (u/v) als Bildpunkt die Gleichungen:
u = p cos (2 alpha) + q sin (2 alpha)
v = p sin (2 alpha) - q cos (2 alpha)
Die Abbildungsmatrix ist- wie es sich gehört- orthogonal ,
mit der Determinante minus eins ( Umkehrung des Drehsinns ! )
Für das von Maddes erwähnte Beispiel mit m = 2 ergeben sich
der Reihe nach die Werte:
cos (alpha) = 1 / wurzel (1 + m^2 ) = 1 / wurzel (5)
sin (alpha) = 2 / wurzel(5)
sin(2 alpha) = 2 * sin(alpha ) * cos (alpha) = 4/5
cos(2 alpha) = - 3/5 (Achtung auf das Vorzeichen !!)
Die Abbildungsgleichungen für diesen Spezialfall lauten demnach:
u = - 0.6 p + 0. 8 q
v = 0.8 p + 0 .6 q
Herleitung der Formel
Der Mittelpunkt M der Punkte (p/q) , (u/v) muss auf g liegen,
daher gilt: ½ (v+q) = m * ½*(u+p) oder
m u - v = q - mp....................................................................(GL I )
Die Steigungen von g und der Verbindungsgerade der genannten
Punkte sind wegen der Orthogonalität entgegengesetzt reziprok,
also gilt:
(v-q) / (u-p) = - 1 / m oder
u + mv = mq + p.....................................................................(Gl II)
Nun lösen wir die Gleichungen (Gl I) und (Gl II ) nach u und v auf,
z.B. mit Cramer ; p und q sind gegeben.
Man erhält leicht:
u = [ 2 m q - m^2 * p + p ] / [m^2 + 1]
v = [ m^2 * q + 2 m p - q ] / [m^2 + 1]
Nun beachten wir, dass
m = tan (alpha) und 1 / (m^2 + 1 ) = {cos Alpha} ^ 2 gilt,
ferner schreiben wir für 2 sin (alpha )*cos (alpha ) = sin (2 alpha)
und für (cos alpha ) ^ 2 - ( sin alpha ) ^ 2 = cos ( 2 alpha ).
Wenn wir das brav ausführen, erhalten wir die obigen
Abbildungsgleichungen,
und das kleine Werk ist vollbracht ( Sitzungsunterbruch ! ).
Mit den besten Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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