| Autor |
Beitrag |
    
kathleen hartung (Kathi05)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 18:29: | 
|
hilfe!
ich schreib am mittwoch einen test und habe (bisher) keinen schimmer.
eins meiner probleme lautet:
der querschnitt eines entwässerungskanals ist ein rechteck mit aufgesetztem halbkreis. wie sind breite und höhe des rechtecks zu wählen, damit die querschnittsfläche 8qm groß ist und zur ausmauerung des kanals möglichst wenig material benötigt wird.
ichs habs bisher schon ne ganze weile umsonst versucht, vielleicht könnt ihr mir helfen ?!
gruß kathi |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Dezember, 2000 - 20:27: |
|
Hallo Kathi,
Vergleiche dazu auch die Aufgaben auf 25/1875 und 25/7715
Sei r der Radius des Halbkreises, dann ist die Breite des Rechtecks 2r, seine Höhe sei h.
Gesucht:
Abmessungen der Querschnittsfigur, die minimalen Umfang u bei konstantem Flächeninhalt A (=8m², später einsetzen, erst allgemein rechnen) hat
Die Umfangslinie der Querschnittsfigur setzt sich zusammen aus Halbkreisbogen, zweimaliger Höhe und einmaliger Breite: u=pr + 2h + 2r
Der Flächeninhalt A der Querschnittsfigur besteht aus der
Halbkreisfläche pr²/2 und der
Rechtecksfläche h*2r:
A= pr²/2 + 2rh
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte, eine kann eliminiert werden: wähle h, weil es nur einmal vorkommt
A-pr²/2 = 2rh | : (2r)
A/(2r) - pr²/(2*2r) = h
h = A/(2r) - pr/4
u(r) = pr + 2h + 2r mit h = A/(2r) - pr/4, also
u(r) =pr + 2*[A/(2r) - pr/4] + 2r
(...vereinfachen...)
u(r) = pr/2 + 2r + A/r
nach r ableiten:
u'(r) = p/2 + 2 - A/r²
u''(r) = 2A/r³
erste Ableitung gleich Null setzen, um Minimum des Umfangs zu finden:
u'(r)=0 <=> p/2 + 2 - A/r² = 0 |+A/r²
<=> p/2 + 2 = A/r² |*r²/(p/2 + 2)
<=> r² = A/(p/2 + 2)
<=> r=Ö[A/(p/2 + 2)]
setze A=8m² ein und erhalte r=1.497m in etwa.
setze r=1.497m in h = A/(2r) - pr/4 ein und erhalte h=1.488m in etwa.
Die Breite des Rechtecks ist 2.994m zu wählen, seine Höhe 1.488m
Gruß, Bernd |
|
