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Beitrag |
    
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 10:48: | 
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Sei P(x/y/z) gegeben!
p = x * e1 + y * e2 + z * e3
==> p' = x * e1' + y * e2' + z * e3'
p1' = x * e11' + y * e21' + z * e31'
p2' = x * e12' + y * e22' + z * e32'
p3' = x * e13' + y * e23' + z * e33'
d.h.: Die Bilder der Einheitsvektoren bilden bei einer linearen Abbildung die Spalten der Abbildungsmatrix.
Hierzu haben wir dann folgende Beispielaufgabe gerechnet:
Die Spalten der Abbildungsmatrix sind die Bilder der Einheitsvektoren. Bestimme mit Hilfe dieser Eigenschaft die Abbildungsmatrizen der folgenden linaren Abbildungen der x-y-Ebene.
a) Schrägspiegelung an der Geraden y = 2x in Richtung der y-Achse
was wir raushatten.
e1 = (1/0), e2 = (0/1)
e1' = (1/4), e2' = (0/-1)
Leider verstehe ich das Prinzip nicht. Absolut nicht. Könnte mir vielleicht einer mal auf die Sprünge helfen? Quasi alles. Leider hab ich nur noch 2 Stunden bis vor der Klausur, und die Klausur wird DI geschrieben, die letzten 2 Stunden habe ich Montags. Und es wäre gut, wenn ich jetzt schon anfange zu lernen!
danke und viele Grüße
-maddes |
doerrby
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. Dezember, 2000 - 14:37: |
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Das Prinzip ist, dass die Abbildung linear ist. Das bedeutet, dass durch die Festlegung der Bilder der Einheitsvektoren schon die gesamte Abbildung festliegt. Eine Matrix ist eine lineare Abbildung, die nicht, wie bisher gewohnt, eine Zahl x auf eine Zahl f(x)=y abbildet, sondern einen Vektor auf einen anderen. Sei v = le1 + me2 ein beliebiger Vektor. Dann ist
A * v = A * (le1 + me2)
= l A*e1 + m A*e2
Dieser letzte Schritt ist nur möglich, weil das alles linear ist.
Wenn Du Dir jetzt anguckst, wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert, speziell einem Einheitsvektor, wird Dir schnell klar, warum die Bilder der Einheitsvektoren gerade die Spalten der Matrix sind.
Speziell zu dieser Aufgabe:
Der Punkt (1;0) wird am Punkt (1;2), der der Geradengleichung y=2x gehorcht und mit (1;0) eine Parallele zur y-Achse bildet, gespiegelt. Man erhält den Punkt (1;4), d.h. A*(1;0) = (1;4).
Der Punkt (0;1) wird am Punkt (0;0) gespiegelt. Man erhält den Punkt (0;-1), d.h. A*(0;1) = (0;-1).
Gruß Dörrby |
maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Dezember, 2000 - 12:42: |
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Hi Doerrby nochmal!
also:
hab das ganze verstanden, nur bin ich noch am Rätseln: wie kommt man auf die Spiegelpunkte?
und
Warum habe ich den Punkt e1(1/0) und e2(0/1) genommen? Hätte ich hier nicht auch jeden x-beliebigen Wert nehmen können, oder hat es was damit zu tun, dass wir von den NEV (Normaleneinheitsvektoren) sprechen?
Kann man die Spiegelpunkte auch irgendwie errechnen, oder muss man sich immer die Mühe machen und die mal in ein Koordinatensystem einzeichnen. Etwas blöde wäre das ja, wenn man das ganze im 3dimensionalen Raum vorliegen hätte. Das würde ich nicht so gerne zeichnen...
Wenn ich mir das recht überlege eigentlich nicht. Denn ohne Matrix kann man ja auch keine Punkte errechnen, oder?
des weiteren ist diese Abbildungsmatrix richtig für die obenstehende Aufgabe?
A =
( 1 0 )
( 4 -1 )
?
danke für eine schnelle Antwort, da ich schon MORGEN!!! die Klausur schreibe!
-maddes |
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