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Zylindrische Dose

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klasse 11 » Differentialrechnung » Extremwertaufgaben » Volumen » Zylindrische Dose « Zurück Vor »

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Simone
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 15:20:   Beitrag drucken

Hallo!!! Wer kann mir bei den beiden folgenden Mathe-Aufgaben behilflich sein?

1. Welche zylindrische Dose mit dem Oberflächeninhalt von 1 dm² hat das größte Volumen?
und:
2. Welche quadratische Säule mit gegebenem Volumen hat die kürzeste Körperdiagonale?

Dankeschön!!!
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Clemens
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Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 16:52:   Beitrag drucken

Hallo Simone!

Ich gehe davon aus, daß die Dose mit Deckel gemeint ist.

Die Hauptbedingung ist:

V = r^2*Pi*h

Und die Nebenbedingung ist die Oberfläche:

O = 2r^2*Pi + 2r*Pi*h

Aus der Oberfläche drückst Du h aus:

h = (O - 2r^2*Pi)/(2r*Pi)

und setzt in die Hauptbedingung ein:

V = r^2*Pi*(O - 2r^2*Pi)/(2r*Pi)

Kürzen:

V = r*(O - 2r^2*Pi)/2

Das 1/2 kannst Du als konstanten Faktor weglassen; den Rest multiplizierst Du aus:

V(r) = Or - 2r^3*Pi

Differenzieren und Nullsetzen:

V'(r) = O - 6r^2*Pi = 0

=> r = Wurzel(O/(6*Pi))

...und jetzt kannst Du für O auch den Wert 1dm² einsetzen...

Um festzustellen, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt, bildest Du die zweite Ableitung...

V''(r) = -12r*Pi

...die ist offensichtlich negativ, damit handelt es sich um ein Maximum!

...h ausrechnen nicht vergessen!


Und zur zweiten Aufgabe:

Die Hauptbedingung ist:

d = Wurzel(a^2 + a^2 + h^2)

Und Nebenbedingung ist das Volumen:

V = a^2*h

Aus der Nebenbedingung drückst Du a^2 aus:

a^2 = V/h

und setzt in die Hauptbedingung ein

d = Wurzel(2V/h + h^2)

Die Hauptbedingung darfst Du quadrieren; und statt 2V/h schreibst Du 2V*h^(-1), dann brauchst Du die Quotientenregel nicht

d(h) = 2V*h^(-1) + h^2

Differenzieren und Nullsetzen

d'(h) = -2V*h^(-2) + 2h = 0

h = V/h^2
h = DritteWurzel(V)

a = ... = DritteWurzel(V) => es handelt sich um einen Würfel

Um zu beweisen, daß es sich um ein Minimum handelt, bildest Du die zweite Ableitung

d''(h) = +4Vh^(-3) + 2

Und die ist positiv. Damit ist es ein Minimum.


Falls Du noch Fragen hast, mail mir einfach! (clemens.muellner@rtl-online.de)

Liebe Grüße

Clemens

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