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maddes (Maddes)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 13:44: | 
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hallo! ich lerne langsam das Board hier zu schätzen! Nicht, dass ich mich mit Mathe gar nicht außeinandersetzen möchte, aber ich denke, man kann hier auch ein bisschen Kram wiederholen, den man in der Schule nicht verstanden hat.
Mir gehts ähnlich so, am 12.12.2000 schreibe ich meine MatheLK-Klausur (bin in der 13), und mir sind noch viele Dinge unklar bezüglich Spiegelungen Abbildungen usw. Also hier eine neue Aufgabe. Auch habe ich wieder Lösungsansätze !!!
(PS: über p gehört jeweils ein Vektorpfeil, und die (x/y) sind auch als Vektoren zu verstehen!)
Gegeben ist die Abbildungsmatrix A =
(2 -3)
(1 -2)
a) Bestimme die Menge aller Punkte, die durch die Abbildung nicht verändert werden (Fixpunktmenge), und bestätige, dass es sich bei dieser Punktmenge um eine Ursprungsgerade g1 handelt..
zu a) Wenn ich einen Punkt P(x|y) nehme, so müsste er dann ja wieder auf P'(x|y) Abgebildet werden, oder?
ich habe für
x' = 2x - 3y = x
y' = x - 2y = y
folglich ist die g1 also y = 1/3x
muss ich noch etwas hinzufügen, oder reichen diese Ausführungen?
b) Zeige, dass die Menge aller Punkte P mit der Eigenschaft A * p = -p eine Ursprungsgerade g2 ist, und untersuche die Frage, wie die Abbildung auf die zu g2 paralellen Geraden wirkt.
zu b) Wenn ich wieder den selben Punkt P(x|y) nehme, dann müsste für P'(-x|-y) rauskommen, oder?
Wie schreibe ich das allgemein hin? A * p = -p wie in der Aufgabenstellung, oder anders?
folglich habe ich dann die Abbildungsgleichungen
x' = 2x - 3y = -x
y' = x - 2y = -y
die Gerade wäre dann y = x
Die Gerade hätte also die Vorschrift in der Parameterdarstellung g:x = s*(1/1)
eine Paralelle Gerade hätte die Vorschrift g:x = p + s*(1/1) oder?
Dann habe ich wie folgt ausgeführt
A * (p + s*(1/1) = A * p + A * s * (1/1) = A * p + p
und dies ist dann A * p = -p
ist das korrekt, oder nicht?
Man könnte die beiden Geraden ja auch anders aufstellen nämlich g1 y = x und g2 y = x + b
weiter ausgeführt wäre das dann
A * (x/x+b) = A * (x/x) + A * (0/b) = (-x/-x) + (-3b/-2b)
das unterscheidet sich aber von meiner ersten Lösung. aber warum? was hab ich denn falsch gemacht, oder falsch beachtet?
c) Bei der gegebenen Abbildung handelt es sich um eine Schrägspiegelung. Begründe diese Behauptung und gib die Spiegelachse und die Spiegelrichtung an.
zu c)
hier muss ich leider passen. Weiß leider nicht, wie ich es begründen soll =(
ich denke ihr könnt mir hier weiterhelfen!
so jetzt genug getippt. Mal schauen wann eine Antwort kommt. Ich hoffe bald, denn der 12 Dez. rückt immer näher, und ich habe noch mehr Defizite Stoffbezüglich aufzuholen (Hamlet lesen...)
VIELEN DANK!!!!!!!
-maddes |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 21:00: |
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Hallo maddes,
es ist alle richtig, bis zu der Stelle, an der Du die Parametergleichung der parallelen Gerade angibst (in Aufgabe b) und dann ausführst:
Quote:A * (p + s*(1/1)) = A * p + A * s * (1/1) = A * p + p
Da hast Du zwei verschiedene Dinge beide p genannt. Das eine p ist ein konstanter Vektor, um den Du die Gerade verschoben hast (die Parallelverschiebung). Das andere p, kommt daher, weil Du vorher (um die Geradenform auszurechnen) ein unbekanntes p angesetzt hattest und dann Ap = -p sein mußte. Dieses letzte p ist aber eine Variable. Es ist also nicht s(1/1) gleich dem konstanten p.
Wenn Du für das konstante p besser c =(c1,c2) schreibst, dann sieht Du, daß natürlich nicht s(1/1) = c ist.
Die Gleichung lautet also:
A * (c + s*(1/1)) = A * c + A * s * (1/1) = A * c + s * A * (1/1)
Das s ist ein Skalarer Faktor, den man vorziehen kann (und sollte). Dann rechnet man aus: A*(1/1) = (-1/-1)
Also:
A * (c + s*(1/1)) = A * c + s * (-1,-1)
Dabei ist Ac eine Konstante = (2c1-3c2/c1-2c2)
Durch Verschiebung der Punkte von g um den Vektor c erhält man eine zu g parallele Gerade. Das ist richtig. Die Verschiebung erfolgt sowohl in x- als auch in y-Richtung.
In Deinem anderen Lösungsansatz hast Du nur in y-Richtung verschoben. Der Vektor c ist also gleich (0,c2).
Vielleicht ist es nur Gewohnheit, vielleicht ist es eine Definitionsache, daß man alle möglichen parallelen Geraden allein durch y-Verschiebung angibt. Zumindest gibt es statt (c1/c2) immer einen Vektor (0/c2) oder einfach (0/c) der die gleiche Gerade ergibt.
Wenn ich das so ansetze, dann ist
A * (c + s*(1/1)) = (-3c,-2c) + s * (-1,-1)
Und das ist dann deine Lösung aus dem alternativen Ansatz.
Gruß
Matroid |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 07:28: |
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Hi Maddes,hi Matroid,
Eure Bemühungen haben zum Erfolg geführt;
meine Gratulation !
Es sei mir noch eine abschliessennde Bemerkung erlaubt:
Hätte man die Theorie und Praxis der Eigenwerte und
Eigenvektoren zur Verfügung, so könnte man eine solche
Aufgabe in wenigen Zeilen erledigen
Schaut einmal bei der Frage von Björn betr. Euler-Affinität
nach; dort habe ich einige Beispiele zur rechnerischen
Behandlung der Affinität vorgeführt.
Im vorliegenden Fall kommt man zu folgenden Ergebnissen:
Eigenwerte: 1 und -1.
Zum Eigenwert 1 gehört der Eigenvektor {3,1},daraus:
die Gerade y = 1/3 x ist Fixpunktgerade
Zum Eigenwert -1 gehört der Eigenvektor {1;1},
die Gerade y = x ist globale Fixgerade und gibt die Richtung
der Spiegelung.
Die Determinante der Abbildungsmatrix ist -1:
der Drehsinn wird bei der Abbildung ,wie erwartet,
umgekehrt.
Der Umgang mit den eigenvals und eigenvects lohnt sich !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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