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xxx
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 09:28: | 
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Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x³-3x²+6x (x€R). Durch die Punkte A(0;f(0)) und B(3;f(3)) des Graphen von f verläuft eine Sekante.
a)Stellen Sie die Gleichungen der Tangenten an den Graphen von f auf, die parallel zur Sekante verlaufen.
b) Untersuchen Sie rechnerich, ob an den Graphen der gegebenen Funktion f waagerechte Tangenten existieren. (8 BE)
Danke schon mal im Voraus!!! |
doerrby
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Dezember, 2000 - 11:45: |
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Genereller Tip: immer erstmal zeichnen, dann siehst Du meistens mehr und hast eine Kontrolle deiner Rechnungen.
a)
Zunächst brauchen wir die Gleichung, genauer gesagt: die Steigung der Sekanten, damit wir wissen, nach welchen Tangentensteigungen wir suchen müssen.
ms = (f(3) - f(0)) / (3 - 0)
=(18 - 0) / (3 - 0)
= 6
Die Tangentensteigung an einer Stelle x ist aber gerade die Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Also sucht man Lösungen der Gleichung ms = f'(x).
Þ 6 = 3x2 - 6x + 6 | -6
Þ 0 = 3x (x - 2)
Þ x1 = 0 ; x2 = 2
Das heißt, dass die Sekante auch gleichzeitig Tangente ist (zeichnen!) . Ihre Gleichung ist y=6x.
Eine zweite Tangente mit der gleichen Steigung liegt an der Stelle x=2 am Graphen; f(2) = 8. Damit haben wir in der allgemeinen Geradengleichung
y = mx + b
die Werte m=6, x=2 und y=8 und können b bestimmen.
b = y - mx = 8 - 2*6 = -4
Also lautet die Gleichung der zweiten Tangente y = 6x - 4.
b)
Waagrechte Tangenten haben die Steigung 0. Die Frage ist also, ob f'(x) = 0 lösbar ist.
0 = f'(x) = 3x2 - 6x + 6
Þ 0 = x2 - 2x + 2
p-q-Formel: x1/2 = 1 ± Wurz(1-2)
Diese Gleichung ist in den reellen Zahlen nicht lösbar, also gibt es keine waagrechten Tangenten.
Gruß Dörrby |
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