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Beitrag |
    
Claud
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 12:11: | 
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Gegeben ist die Matrix
( 5k 0 12k)
A= ( 0 1 0 )
( -12k 0 5k )
a)Bestimmen sie k>0 so, dass A eine orthonormale Matrix wird.
b)Berechnen sie (für das unter a) bestimmte k) die inverse Matrix.
c) Lösen sie (für das unter a) bestimmte k) das Gleichungssystem Ax=(1,2,3)^t
Also folgendes:ich weiss zwar,was eine orthonormale Matrix ist, doch kann ich k nicht berechnen???!!Kann mir wer helfen??? wenn ich k hätte, wären die aufgaben b) und c) denke ich zu schaffen!! also bitte auf jeden fall a) lösen und wenn ihr lust habt auch den rest..!!! Danke!!!!! |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 13:21: |
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Hallo Claud,
Du meinst wohl eher eine orthogonale Matrix!
Bei einer orthogonalen Matrix sind alle Spaltenvektoren (oder Zeilen-) senkrecht zueinander, sie sind sogar auch orthonormal, trotzdem ist der Name "orthogonal".
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Das k ist leicht zu finden, denn es gilt für jede orthogonale Matrix A:
det(A)=±1
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Die Determinante aus unserer Matrix ist (nachrechnen!) = 169k²
Aus 169k²=±1
ergibt sich: k = ±1/13
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eingesetzt:
|5/13 0 12/13|
| 0 1 0 |
|-12/13 0 5/13 |
und entsprechend die zweite Lösung mit k=-1/13.
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Nun kannst du mit üblicher Methode die inverse Matrix rechnen oder den Satz anwenden: Für eine orthogonale Matrix gilt
A-1 = AT
Demnach ist die inverse:
|5/13 0 -12/13|
| 0 1 0 |
|12/13 0 5/13 |
und natürlich ebenso mit der zweiten Lösung.
Die Spaltenvektoren (oder Zeilenvektoren) der inversen Matrix sind selbst wieder orthonormal, die Matrix also wieder eine orthogonale Matrix.
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