| Autor |
Beitrag |
    
Susanne
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 21:45: | 
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Die Parabel f(x)=(1/t^2)x-x^3, mit t element aus der menge der positiven reellen Zahlen und die x-Achse begrenzen im 1.Feld eine Fläche.
a) Gibt es einen t-Wert für den der Inhalt dieser Fläche extremal wird?
b) Durch Rotation dieser Fläche um die x-Achse entsteht ein Drehkörper. Untersuche, ob es einen t-Wert gibt, für den der Inhalt des Drehkörpers maximal wird.
ich würde mich über eine schnelle beantwortung dieser Frage sehr freuen. Danke schon einmal im vorraus. |
Randy (Randy)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 22:52: |
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Als erstes berechnet man die NST der Parabel:
0=f(x)=x/t2-x3
Die NST sind: x01=-(t)0.5 und x02=(t)0.5
Da die Fläche im 1. Quadranten gemeint ist, muß also das Integral im Intervall [0,(t)0.5] berechnet werden.
Das sieht dann so aus:
A(t)=ò0 (t)0.5 x/t2-x/t dx
Die Lösung dazu sieht so aus:
A(t)=(t/2*t2)-1/4*t2
Jetzt muß man diese Funktion, die uns die gesuchte Fläche in Abhängigkeit von t darstellt, differenzieren, d.h. ableiten und Null setzen, um die Extremwerte zu berechen:
A´(t)=(-1/2*t-2)-t/2
Nach dem Nullsetzen ergibt sich für t:
t=+-1
D.h. die Fläche unter der Parabel wird maximal für t=+-1, wobei hier der Nachweis fehlt, ob t=+-1 wirklich den Max.-Wert liefert.
Aber nach Grafik ist er es.
Da wir die maximale Fläche unter der Parabel bestimmt haben, gilt auch für den Drehkörper t=+-1 , da wir ja die maximale Fläche um die x-Achse rotieren lassen, und somit das maximale Volumen erzeugen.
Hier noch der Graph der Parabel:
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Randy (Randy)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 22:54: |
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Als erstes berechnet man die NST der Parabel:
0=f(x)=x/t2-x3
Die NST sind: x01=-(t)0.5 und x02=(t)0.5
Da die Fläche im 1. Quadranten gemeint ist, muß also das Integral im Intervall [0,(t)0.5] berechnet werden.
Das sieht dann so aus:
A(t)=ò0 (t)0.5 x/t2-x/t dx
Die Lösung dazu sieht so aus:
A(t)=(t/2*t2)-1/4*t2
Jetzt muß man diese Funktion, die uns die gesuchte Fläche in Abhängigkeit von t darstellt, differenzieren, d.h. ableiten und Null setzen, um die Extremwerte zu berechen:
A´(t)=(-1/2*t-2)-t/2
Nach dem Nullsetzen ergibt sich für t:
t=+-1
D.h. die Fläche unter der Parabel wird maximal für t=+-1, wobei hier der Nachweis fehlt, ob t=+-1 wirklich den Max.-Wert liefert.
Aber nach Grafik ist er es.
Da wir die maximale Fläche unter der Parabel bestimmt haben, gilt auch für den Drehkörper t=+-1 , da wir ja die maximale Fläche um die x-Achse rotieren lassen, und somit das maximale Volumen erzeugen. |
Susanne
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 13:15: |
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Danke für die Hilfe, aber ich verstehe nicht, wie Du auf die Nullstellen gekommen bist. Ich bekomme da heraus:
x=o
x=t^(-1)
x=-t^(-1) |
Randy (Randy)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 11:39: |
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Stimmt: hab mich da irgenwo vertan.
Demzufolge muß von 0 bis 1/t integriert werden.
Sorry |
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