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B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 20:49: | 
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Hallo, ich habe versucht, den Unterschied bzgl. der Lösbarkeit der Gleichungssysteme auf http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/8002.html herauszufinden, aber irgendwie versagt auf einmal die Theorie.
Und wahrscheinlich nur meine Theorie:
Ist es nicht so, dass,
(1) wenn die "Hauptdeterminante" D =
gleich Null ist, schonmal ausgeschlossen ist, dass das Gleichungssystem genau eine Lösung hat?
(2) Dann richtet sich doch die Lösbarkeit danach, ob die "Nebendeterminanten" Dx, Dy, Dz alle gleich Null sind oder nicht.
(3) Sind Dx=Dy=Dz=0, so hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
(4) ist dagegen (bei D=0) auch nur eine der drei Dx, Dy, Dz ungleich Null, so gibt es keine Lösung.
Bei dem ersten System
-3x-3y+9z=-6
-2x+2y-6z=5
x+y-3z=2
gibt es unendlich viele Lösungen, {x=-1/4 und y=3z+9/4, z bleibt unbestimmt}
Es sind dort Dx=Dy=Dz=0=D, so dass die Theorie dazu passt.
(5) Aber beim zweiten System
x+y-3z=2
2x+2y-6z=5
-3x-3y+9z=-6
gilt auch Dx=Dy=Dz=0=D, und es gibt trotzdem keine Lösung:
(6) Dx=
=0
(7) Dy=
=0
(8) Dz=
=0
(9) D=
=0
An welcher Stelle war jetzt eine falsche Überlegung? |
Randy (Randy)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 21:09: |
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Das Problem besteht darin, das die erste und die dritte Gleichunge des zweiten Systems nicht unabhängig voneinander sind. Wenn man die erste Gleichung mit -3 multipliziert kommt man auf die dritte Gleichung; es handelt sich also um ein und dieselbe Gleichung.
Demzufolge kann man nicht mit der Cramerschen Regel arbeiten, da ich nur zwei Gleichungen für drei Unbekannte habe. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 21:35: |
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Hallo Randy, danke für die Antwort,
dass es nicht funktioniert, weiß ich auch, aber wo genau ist der Haken? (Nr. der falschen Überlegung wär nicht schlecht) |
Randy (Randy)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 22:08: |
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Die Rechnung mit den Unterdeterminaten ist nach der Regel von Cramer, die besagt: ...in dem die Anzahl der Unbekannten mit der Anzahl der Gleichungen des Systems übereinstimmt....
(Bronstein, Seite 259)
Der Punkt ist, das das zweite System nur aus zwei verschiedenen Gleichungen besteht, da Gleichung 1 = Gleichung 3 ist (mal -3).
Man hat also nur zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, was man folglich nicht eindeutig lösen kann, und auf das ich die Regel von Cramer nicht anwenden kann. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 22:36: |
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Hallo Randy, vielen Dank für die Mühe,
Unter "Cramer-Regel" habe ich bisher verstanden, die Dx, Dy und Dz jeweils durch D zu teilen, um konkrete Werte für x, y und z zu erhalten. Die Cramer-Regel (also das, was ich darunter verstanden habe) kann gar nicht zur Anwendung kommen, denn dass man die Lösung im unterbestimmten Fall nicht damit berechnen kann, ist ja wegen der Nichtteilbarkeit durch Null klar.
Das erste Gleichungssystem besteht doch auch nur aus zwei verschiedenen Gleichungen, es sind doch, wie beim letzten, auch die erste und letzte Gleichung äquivalent, und trotzdem lässt sich mit den Regeln (1) und (3) bestätigen, dass es unendlich viele Lösungen geben muss.
Warum versagt diese Regel beim zweiten?
War das Zufall, dass sie beim ersten nicht versagt hat? |
Randy (Randy)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 23:18: |
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Ich habe bisher das 1. System bei meinen Ausführungen völlig außer Acht gelassen; mein Fehler, sollte das nächste mal besser lesen, passiert mir aber dauernd, sorry.
Aber wenn ich mir die beiden Systeme anschaue, stelle ich fest, daß es im System 1 zwei linear abhängige Funktionen gibt(1 und 3) wieder mal das mal(-3).Die Gleichung 2 hat nichts mit den anderen zu tun. Daraus folgt drei Gleichungen mit zwei Unbekannten, was wiederum dazu führt:unendlich viele Lösungen.(steht im Widerspruch zu meiner oben getätigten Aussage)
Das zweite System beinhaltet jedoch in der Matrix A drei linear abhängige Gleichungen, jedoch passt in diesem Fall die Matrix B nicht dazu, wie im Fall von System eins.
Für den zweiten Fall müßte die Matrix B so aussehen:
[2 4 -6]
Dann gäbe es auch hier unendlich viele Lösungen.
Das wäre meine Erklärung zu dem Phänomen.
Beachte Matrizengleichung:
A*x=B
Ich hoffe das hilft jetzt weiter.... |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Dezember, 2000 - 13:43: |
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Hallo Randy, ich weiß nicht, mit welcher oben getätigten Aussage die Aussage ...es im System 1 zwei linear abhängige Funktionen gibt, ... was wiederum dazu führt:unendlich viele Lösungen im Widerspruch stehen soll.
Nochmal zusammenfassend die Lösung beider Systeme:
Gleichungssystem 1:
{x=-1/4 und y=3z+9/4, z bleibt unbestimmt}
Probe durch Einsetzen
Gleichungssystem 2:
x+y-3z=2
2x+2y-6z=5
-3x-3y+9z=-6
addiere alle drei Gleichungen und es folgt
0x+0y+0z=1, also 0=1, ein Widerspruch, also L={}
Dass die Terme auf den rechten Seiten [2 4 -6] heißen müssten, steht doch gar nicht zur Debatte. Dann könnten sie ebenso [4 8 -12] oder [a 2a -3a] mit beliebigem a heißen.
Mich interessiert vielmehr, was an der Theorie nicht stimmt:
Welche der Überlegungen (1) .. (9) ist falsch?
Dankbar, wenn dazu jemand was sagen kann. |
B.Bernd
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Dezember, 2000 - 11:07: |
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Weiß keiner was? |
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