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Beitrag |
    
Fabian Schlup (Konvergenzius)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 21:14: | 
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Kann mir jemand erklähren, warum bei folgender Funktion der Grenzwert 2 ist bei x --> 1?
f(x) = ( x^3 + x^2 - x - 1 ) / ( x^2 - 1 )
thx |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 22:18: |
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Hallo Fabian,
Wenn man für x=1 einsetzt, so ergibt sich 0/0 eine sogenannte unbestimmte Form.
Die einfachste Art dies zu lösen, ist mit Hilfe der Regel von de l'Hospital:
Man differenziert Zähler und Nenner getrennt und setzt wieder x=1 ein
also:
(3x²+2x-1)/(2x)
x=1 gesetzt:
(3+2-1)/2 = 2 der gesuchte Grenzwert.
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Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. November, 2000 - 22:21: |
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Irgendwann konvergieren wir alle.
Ich sehe zwei Möglichkeiten:
a) Die Polynome haben eine gemeinsame Nullstelle, nämlich x=1. Mit Polynomdivision bzw. binomischer Formel kann man kürzen:
(x²+2x+1)/(x+1)
und nochmal eine gemeinsame Nullstelle x=-1
(x+1)
Die Funktion f(x) ist definiert für x ungleich 1 oder -1.
Für alle x ungleich 1 oder -1 darf man kürzen.
Der Grenzwert für x->1 ist also 2.
b) Andere Möglichkeit (aber mehr zu rechnen): Betrachte die Konvergenz für x=1-1/n für n->¥. Mache ich aber jetzt nicht weiter.
Gruß
Matroid |
F@bian (Konvergenzius)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 15:20: |
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Vielen Dank für den "de l'Hopital"-Tipp
Ich habe ihn ausprobiert und konnte den unteren Term x1-1 problemlos zu 2x ableiten. Doch ich kann den oberen Term x3+x2-x-1 nicht nach 3x²+2x-1 ableiten! Wie geht das? Ich kann das 3. Binom ausmultiplizieren und dann alles mit Dx kürzen... aber ich komme einfach nicht weiter!
Vielen Dank nochmals |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. November, 2000 - 19:07: |
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Warum ableiten, wenn man kürzen kann?
Na ja, als Übungsbeispiel für l'Hospital. |
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